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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 不等式的综合测试
一、单选题
1．（2022高一下·越秀期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：
解得：.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
2．（2022高一下·巴中期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】取，，A不符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意；
易得，则，当且仅当即时取等，又，显然取不到等，则，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】取说明A、C、D不成立，由基本不等式说明B正确即可.
3．（2022高一下·湖北期中）若，且.则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
4．（2022高一下·南阳月考）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：D
【分析】 由题意可得，平方变形可得，注意等号成立的条件即可得 的最大值 .
5．（2022高一上·徐汇期末）若是方程的两个根，则( )
A． B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合韦达定理，进而得出的值。
6．（2021高二上·湖南期末）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.
故答案为：A.
【分析】首先整理化简化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
7．（2021高二上·期末）已知，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．16
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由已知直线过圆心得：，
，
当且仅当时取等.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出直线过圆心，再结合代入法得出，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
8．（2022高一上·大兴期末）当时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出当时的的最大值。
9．（2021高一上·浦东期末）任意，下列式子中最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.当时，，排除；
B.，当且仅当时等号成立，符合；
C.，当且仅当时等号成立，排除；
D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而求出最小值为2的选项。
10．（2021高一上·广丰月考）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：C
【分析】 由得，化简，再由基本不等式求解，即可得答案.
11．（2021高一上·湖南月考）设 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值.
故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式即可求出答案。
12．（2021高二上·河南期中）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
，解得 或 （舍去），
所以 ，即a+2b的最小值.4．此时 ．
故答案为：C．
【分析】 由可得又 利用基本不等式可得 ，求解可得 的最小值 。
二、填空题
13．（2022高一下·凌源月考）已知x>，则的最小值为 ．
【答案】15
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当即x=4时，等号成立．
故答案为：15.
【分析】 运用拼凑法结合基本不等式及其应用求解即可得答案.
14．（2022高一上·杨浦期末）已知方程的两个根为，则的值为 .
【答案】12
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由韦达定理得，，
所以。
故答案为：12。
【分析】利用已知条件结合韦达定理，进而得出 的值 。
15．（2022高一上·温州期末）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为为正数，所以成立，所以
因为，所以，
由为正数，得，
所以，
当且仅当即等号成立，
即，解得，所以的最小值为3。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
16．（2021高二上·靖远期末）已知正数a，b，c满足，且，则的最小值为 .
【答案】2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
则，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
三、解答题
17．（2022高一下·徐汇期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
【答案】（1）解：因为关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，
所以，解得，
所以k的取值范围为
（2）解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，
所以，所以，解得
【知识点】一元二次方程
【解析】【分析】（1）由，求解不等式即可得答案；
（2）由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解.
18．（2022高一下·化州期中）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入与利润、成本的关系，从而得出分段函数年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、均值不等式求最值的方法，进而结合比较法得出当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元。
19．（2022高一下·湖北期中）已知集合．集合，设集合．
（1）求I；
（2）当时，求函数的最小值．
【答案】（1）解：∵，，
∴或，
（2）解：当时，，
∴，
当且仅当，即取等号，
所以函数的最小值为7.
【知识点】交、并、补集的混合运算；基本不等式
【解析】【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义及交集的定义运算即得；
（2）利用基本不等式即得.
20．（2022高一上·徐汇期末）已知正数x、y满足x+2y=1，求+ 的最小值，并求出+ 取到最小值时x、y的值.
【答案】解： ∵ x>0，y>0，且x+2y=1， ∴+ =(+ )(x+2y)=3++ ≥3+2
(当且仅当=，即x=-1，y= 时，等号成立)
∴ 当x=-1，y= 时，(+ )min=3+2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 + 的最小值，并求出+ 取到最小值时的x、y的值。
21．（2021高二上·泸县期末）已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解： ，即 ，
所以 ，
所以 ，
①当 时不等式的解为 或 ，
②当 时不等式的解为 ，
③当 时不等式的解为 或 ，
综上：原不等式的解集为
当 时 或 ，
当 时 ，
当 时 或
（2）解：不等式 在 上有解，
即 在 上有解，
所以 在 上有解，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于 的不等式 的解集。
（2） 利用不等式 在 上有解，所以 在 上有解，
所以 ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
22．（2022高一上·泰安期末）已知关于x的不等式，.
（1）若，解不等式；
（2）若不等式的解集为，且.求a的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，，则不等式的解集为.
（2）解：由题意，，而，则，所以，于是，则.
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）代入，利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2） 由题意，，而，则 ， 所以 ， 于是，求出a的取值范围即可.
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高中数学人教A版（2019）必修一 第二章 不等式的综合测试
一、单选题
1．（2022高一下·越秀期末）不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高一下·巴中期末）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022高一下·湖北期中）若，且.则的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．
4．（2022高一下·南阳月考）已知，且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
5．（2022高一上·徐汇期末）若是方程的两个根，则( )
A． B．2 C．4 D．8
6．（2021高二上·湖南期末）若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
7．（2021高二上·期末）已知，且直线始终平分圆的周长，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．6 D．16
8．（2022高一上·大兴期末）当时，的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
9．（2021高一上·浦东期末）任意，下列式子中最小值为2的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021高一上·广丰月考）已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
11．（2021高一上·湖南月考）设 ，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．5
12．（2021高二上·河南期中）已知 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
二、填空题
13．（2022高一下·凌源月考）已知x>，则的最小值为 ．
14．（2022高一上·杨浦期末）已知方程的两个根为，则的值为 .
15．（2022高一上·温州期末）若正数a，b满足，则的最小值是 ．
16．（2021高二上·靖远期末）已知正数a，b，c满足，且，则的最小值为 .
三、解答题
17．（2022高一下·徐汇期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
18．（2022高一下·化州期中）新冠肺炎期间，呼吸机成为紧缺设备，某企业在国家科技的支持下，进行设备升级，生产了一批新型的呼吸机.已知该种设备年固定研发成本为60万元，每生产一台需另投入100元，设该公司一年内生产该设备万台，且全部售完，由于产能原因，该设备产能最多为32台，且每万台的销售收入（单位：万元）与年产量（单位：万台）的函数关系式近似满足：
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式.（年利润=年销售收入-总成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？
19．（2022高一下·湖北期中）已知集合．集合，设集合．
（1）求I；
（2）当时，求函数的最小值．
20．（2022高一上·徐汇期末）已知正数x、y满足x+2y=1，求+ 的最小值，并求出+ 取到最小值时x、y的值.
21．（2021高二上·泸县期末）已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若不等式 在 上有解，求实数 的取值范围．
22．（2022高一上·泰安期末）已知关于x的不等式，.
（1）若，解不等式；
（2）若不等式的解集为，且.求a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解：
解得：.
故答案为：C.
【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可．
2．【答案】B
【知识点】不等式比较大小
【解析】【解答】取，，A不符合题意；，C不符合题意；，D不符合题意；
易得，则，当且仅当即时取等，又，显然取不到等，则，B符合题意.
故答案为：B.
【分析】取说明A、C、D不成立，由基本不等式说明B正确即可.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
所以，当且仅当时，即时，等号成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
4．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为，所以，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：D
【分析】 由题意可得，平方变形可得，注意等号成立的条件即可得 的最大值 .
5．【答案】C
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】因为是方程的两个根，
所以由根与系数之间的关系，，，
故。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合韦达定理，进而得出的值。
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.
故答案为：A.
【分析】首先整理化简化简原式，再由基本不等式即可求出代数式的最小值。
7．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由已知直线过圆心得：，
，
当且仅当时取等.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件得出直线过圆心，再结合代入法得出，再利用均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
8．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】，，又
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出当时的的最大值。
9．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】A.当时，，排除；
B.，当且仅当时等号成立，符合；
C.，当且仅当时等号成立，排除；
D. ，当且仅当时等号成立，故等号不能成立，则，排除.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而求出最小值为2的选项。
10．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 的最小值为 ，
故答案为：C
【分析】 由得，化简，再由基本不等式求解，即可得答案.
11．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，此时 取得最小值.
故答案为：D
【分析】由已知结合基本不等式即可求出答案。
12．【答案】C
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．
，解得 或 （舍去），
所以 ，即a+2b的最小值.4．此时 ．
故答案为：C．
【分析】 由可得又 利用基本不等式可得 ，求解可得 的最小值 。
13．【答案】15
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】 ，当且仅当即x=4时，等号成立．
故答案为：15.
【分析】 运用拼凑法结合基本不等式及其应用求解即可得答案.
14．【答案】12
【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】由韦达定理得，，
所以。
故答案为：12。
【分析】利用已知条件结合韦达定理，进而得出 的值 。
15．【答案】3
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为为正数，所以成立，所以
因为，所以，
由为正数，得，
所以，
当且仅当即等号成立，
即，解得，所以的最小值为3。
故答案为：3。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 的最小值 。
16．【答案】2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】因为，，
则，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为2。
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而求出 的最小值 。
17．【答案】（1）解：因为关于x的实系数一元二次方程有两个虚根和，
所以，解得，
所以k的取值范围为
（2）解：因为关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，
所以，所以，解得
【知识点】一元二次方程
【解析】【分析】（1）由，求解不等式即可得答案；
（2）由关于x的实系数一元二次方程的两个虚根为，从而即可求解.
18．【答案】（1）解：，
∴.
（2）解：当时，，故在上单调递增，
∴时，取最大值，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴当时，，
综上，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；分段函数的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合收入与利润、成本的关系，从而得出分段函数年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式。
（2）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、均值不等式求最值的方法，进而结合比较法得出当年产量为30万台时，该公司获得最大利润，最大利润为790万元。
19．【答案】（1）解：∵，，
∴或，
（2）解：当时，，
∴，
当且仅当，即取等号，
所以函数的最小值为7.
【知识点】交、并、补集的混合运算；基本不等式
【解析】【分析】（1）化简集合，然后利用补集的定义及交集的定义运算即得；
（2）利用基本不等式即得.
20．【答案】解： ∵ x>0，y>0，且x+2y=1， ∴+ =(+ )(x+2y)=3++ ≥3+2
(当且仅当=，即x=-1，y= 时，等号成立)
∴ 当x=-1，y= 时，(+ )min=3+2
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法，进而得出 + 的最小值，并求出+ 取到最小值时的x、y的值。
21．【答案】（1）解： ，即 ，
所以 ，
所以 ，
①当 时不等式的解为 或 ，
②当 时不等式的解为 ，
③当 时不等式的解为 或 ，
综上：原不等式的解集为
当 时 或 ，
当 时 ，
当 时 或
（2）解：不等式 在 上有解，
即 在 上有解，
所以 在 上有解，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 .
【知识点】一元二次不等式的解法；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法结合一元二次不等式求解集的方法，从而求出关于 的不等式 的解集。
（2） 利用不等式 在 上有解，所以 在 上有解，
所以 ， 再利用均值不等式求最值的方法，从而求出实数a的取值范围。
22．【答案】（1）解：由题意，，则不等式的解集为.
（2）解：由题意，，而，则，所以，于是，则.
【知识点】一元二次不等式的解法
【解析】【分析】（1）代入，利用一元二次不等式的解法即可求解；
（2） 由题意，，而，则 ， 所以 ， 于是，求出a的取值范围即可.
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