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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的值域
一、单选题
1．（2021高一上·深圳月考）函数y 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
D．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ，
∴y ，
∴该函数的值域为 ．
故答案为：D．
【分析】首先整理化简函数的解析式，然后由代数式的几何意义，即可得出函数的值域。
2．（2021高一上·大兴期中）函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：因为 对称轴为 ，开口向上，因为 ，所以当 时，函数取值最小值 ，当 时函数取得最大值，即 ，所以 ，即函数的值域为 ；
故答案为：A
【分析】利用二次函数的性质，即可求出答案。
3．（2021高一上·白城期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：设，则 ，则原函数可转化为 ，
∴根据反比例函数的性质，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用换元法，根据二次函数的值域，结合反比例函数的性质求解即可.
4．（2021高一上·昌吉期中）已知函数，则在区间的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】的对称轴为，
在区间单调递减，在单调递增，
当时，；当，，
的值域为.
故答案为：B．
【分析】根据题意由二次函数的单调性即可求出函数的最值，从而即可得出函数的值域。
5．（2021高一上·雄县月考）函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为（ ）
A．[﹣4，﹣3] B．[﹣4，0] C．[﹣3，0] D．[0，4]
【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，
因为当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为 .
故答案为：B
【分析】根据题意由二次函数的图象和性质，即可求出函数的最值。
6．（2020高一上·磐安月考）若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】设 ，则 ，从而 的值域就是函数 的值域，
由“对勾函数”的图像可知， ，
故答案为：B.
【分析】设 ，则 ，从而 的值域就是函数 的值域，由“对勾函数”的图像可得答案。
7．（2021高三上·江西月考）已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．1
【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，再结合一元二次不等式求解集的方法得出方程 的解为 或x=4，再利用韦达定理得出 ， ， ，从而得出函数为，再利用二次函数的图象求最值的方法，从而结合已知条件，进而求出a的值。
二、多选题
8．（2021高一上·玉林期中）下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A． B． C．= D．=
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于A，定义域及值域都为R，
对于B，的定义域为R，值域为，
对于C，=的定义域为，值域为，
对于D，=的定义域为，值域为。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合定义域和值域求解方法，进而找出函数定义域和值域相同的函数。
9．（2021高一上·深圳月考）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】A. ，所以函数的值域为 ，所以该选项符合题意；
B. ，当 时， ，所以该选项不符合题意；
C. ，所以函数的值域为 ，所以该选项符合题意；
D. ，所以函数的值域不是 ，所以该选项不符合题意.
故答案为：AC
【分析】由二次函数的图象和性质即可得出函数的值域，由此即可判断出选项A正确；由函数的解析式的性质即可得出选项B错误；由二次函数的图象和性质即可判断出选项C正确；由函数的解析式的性质即可得出函数的值域，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
三、填空题
10．（2021高一上·深圳月考）若函数 的值域是 ，函数 的值域是 ，则 ．
【答案】
【知识点】交集及其运算；函数的值域
【解析】【解答】由题得 ，所以函数的值域为 .
对于函数 ，函数的定义域为 ，
设 ，所以 ，所以 ，
函数的对称轴为 ，所以函数的值域为 .
所以 .
故答案为：
【分析】首先整理化简原式，由代数式的几何意义即可求出函数的值域，由此得到集合A，然后由反函数法求解出函数的值域B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
11．（2022高一上·杨浦期末）函数的值域是 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由于，所以或，
所以的值域为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法和构造法，进而得出函数的值域。
12．（2022高一上·徐汇期末）函数的值域是 ．
【答案】[0，2]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是[0，2]。
故答案为：[0，2]。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数定义域求解方法，进而得出函 的定义域，再结合函数的定义域和构造法，进而得出函数 的值域 。
13．（2022高一下·岑溪期中）写出一个定义域为 且值域为R的函数 ．
【答案】lnx（答案不唯一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，值域为R，故函数 满足要求.
故答案为：lnx（答案不唯一）.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和值域求解方法，进而找出满足要求的函数的解析式。
14．（2021高一上·河北月考）函数的值域是 .
【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令，则，
则
，
所以的值域为.
故答案为：.
【分析】利用整体思想令，整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，从而即可得出答案。
15．（2021高一上·陈仓期中）函数 的值域为 ．
【答案】（-5，3）
【知识点】二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在(-2，0)上单调递增，则f(x)>f(-2)=-5，f(x)则函数 的值域为（-5，3） .
故答案为： （-5，3）
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
16．（2021高一上·金台期中）函数 的值域为 .
【答案】(-29，3]
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：由题意得在(-3，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
则f(x)max=f(1)=3，f(x)min=f(-3)=-29，故值域为 (-29，3].
故答案为：(-29，3].
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
四、解答题
17．（2021高一上·深圳期中）已知 在区间 上的值域为 .
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 当 上恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ，
当 时， 在 上单调递增，
，即 ，与 矛盾，舍去.
当 时， ，即 ，故 .
此时 ，满足 时其函数值域为 .
当 时， 在 上单调递减，
，即 ，舍去.
综上所述： .
（2）由已知得 在 上恒成立
在 上恒成立，
令 ，且 ，则上式
恒成立，记
时， 单调递减， ，
故 .
所以 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【分析】(1)常规的分类讨论可以解答，也可以另辟蹊径，由函数的开口向上性，可以从最大值着手考虑；
(2)因为4x>0，用参变量分离可得 恒成立，求解可得 的取值范围 .
18．求下列函数的值域
（1） ， ；
（2） ；
（3） ， ；
（4） .
【答案】（1）由于 ， ， ， ， ，
故值域为 .
（2）y＝ ＝ ＝1－ ，
∵x2＋1≥1，∴0＜ ≤2，
∴－1≤1－ ＜1，
故值域为 .
（3）因为 ， ，
画出其图象如图：
观察图象可知值域为 .
（4）设t＝ ，则 且x＝ ，
∴y＝ ＋t＝ ，在 上为单调递增函数，
所以 ，
所以函数的值域为 .
【知识点】函数的值域
【解析】【分析】（1）利用函数解析式结合函数的定义域，再利用代入法求出函数的值域。
（2）利用分离常数法结合平方数的取值范围，从而利用构造法求出函数的值域。
（3）利用二次函数的图象结合函数的定义域，从而求出函数的值域。
（4）利用换元法设t＝ ，则 且x＝ ， 从而得出函数y＝ ＋t＝ ， 再利用二次函数的图象的单调性，从而求出二次函数的值域。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的值域
一、单选题
1．（2021高一上·深圳月考）函数y 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞）
B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
D．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
2．（2021高一上·大兴期中）函数 ， 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·白城期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021高一上·昌吉期中）已知函数，则在区间的值域为（ ）
A． B． C． D．
5．（2021高一上·雄县月考）函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为（ ）
A．[﹣4，﹣3] B．[﹣4，0] C．[﹣3，0] D．[0，4]
6．（2020高一上·磐安月考）若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021高三上·江西月考）已知函数 的定义域与值域均为 ，则 （ ）
A．-4 B．-2 C．-1 D．1
二、多选题
8．（2021高一上·玉林期中）下列函数定义域和值域相同的是（ ）
A． B． C．= D．=
9．（2021高一上·深圳月考）下列函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．（2021高一上·深圳月考）若函数 的值域是 ，函数 的值域是 ，则 ．
11．（2022高一上·杨浦期末）函数的值域是 .
12．（2022高一上·徐汇期末）函数的值域是 ．
13．（2022高一下·岑溪期中）写出一个定义域为 且值域为R的函数 ．
14．（2021高一上·河北月考）函数的值域是 .
15．（2021高一上·陈仓期中）函数 的值域为 ．
16．（2021高一上·金台期中）函数 的值域为 .
四、解答题
17．（2021高一上·深圳期中）已知 在区间 上的值域为 .
（1）求实数 的值；
（2）若不等式 当 上恒成立，求实数 的取值范围.
18．求下列函数的值域
（1） ， ；
（2） ；
（3） ， ；
（4） .
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解： ，
∴y ，
∴该函数的值域为 ．
故答案为：D．
【分析】首先整理化简函数的解析式，然后由代数式的几何意义，即可得出函数的值域。
2．【答案】A
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：因为 对称轴为 ，开口向上，因为 ，所以当 时，函数取值最小值 ，当 时函数取得最大值，即 ，所以 ，即函数的值域为 ；
故答案为：A
【分析】利用二次函数的性质，即可求出答案。
3．【答案】C
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【解析】【解答】解：设，则 ，则原函数可转化为 ，
∴根据反比例函数的性质，可得 .
故答案为：C.
【分析】利用换元法，根据二次函数的值域，结合反比例函数的性质求解即可.
4．【答案】B
【知识点】函数的值域；二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】的对称轴为，
在区间单调递减，在单调递增，
当时，；当，，
的值域为.
故答案为：B．
【分析】根据题意由二次函数的单调性即可求出函数的最值，从而即可得出函数的值域。
5．【答案】B
【知识点】二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时， ，
因为当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
所以函数y=x2+2x﹣3在区间[﹣3，0]上的值域为 .
故答案为：B
【分析】根据题意由二次函数的图象和性质，即可求出函数的最值。
6．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】设 ，则 ，从而 的值域就是函数 的值域，
由“对勾函数”的图像可知， ，
故答案为：B.
【分析】设 ，则 ，从而 的值域就是函数 的值域，由“对勾函数”的图像可得答案。
7．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】∵ 的解集为 ，
∴方程 的解为 或4，
则 ， ， ，
∴ ，
又因函数的值域为 ，
∴ ，∴ 。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数求定义域的方法，再结合一元二次不等式求解集的方法得出方程 的解为 或x=4，再利用韦达定理得出 ， ， ，从而得出函数为，再利用二次函数的图象求最值的方法，从而结合已知条件，进而求出a的值。
8．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域
【解析】【解答】对于A，定义域及值域都为R，
对于B，的定义域为R，值域为，
对于C，=的定义域为，值域为，
对于D，=的定义域为，值域为。
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合定义域和值域求解方法，进而找出函数定义域和值域相同的函数。
9．【答案】A,C
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】A. ，所以函数的值域为 ，所以该选项符合题意；
B. ，当 时， ，所以该选项不符合题意；
C. ，所以函数的值域为 ，所以该选项符合题意；
D. ，所以函数的值域不是 ，所以该选项不符合题意.
故答案为：AC
【分析】由二次函数的图象和性质即可得出函数的值域，由此即可判断出选项A正确；由函数的解析式的性质即可得出选项B错误；由二次函数的图象和性质即可判断出选项C正确；由函数的解析式的性质即可得出函数的值域，由此判断出选项D错误，从而得出答案。
10．【答案】
【知识点】交集及其运算；函数的值域
【解析】【解答】由题得 ，所以函数的值域为 .
对于函数 ，函数的定义域为 ，
设 ，所以 ，所以 ，
函数的对称轴为 ，所以函数的值域为 .
所以 .
故答案为：
【分析】首先整理化简原式，由代数式的几何意义即可求出函数的值域，由此得到集合A，然后由反函数法求解出函数的值域B，再由交集的定义结合不等式即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】由于，所以或，
所以的值域为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法和构造法，进而得出函数的值域。
12．【答案】[0，2]
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】，且，
，
，
，
，
故函数的值域是[0，2]。
故答案为：[0，2]。
【分析】利用已知条件结合偶次根式函数定义域求解方法，进而得出函 的定义域，再结合函数的定义域和构造法，进而得出函数 的值域 。
13．【答案】lnx（答案不唯一）
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值
【解析】【解答】函数 的定义域为 ，值域为R，故函数 满足要求.
故答案为：lnx（答案不唯一）.
【分析】利用已知条件结合函数的定义域和值域求解方法，进而找出满足要求的函数的解析式。
14．【答案】
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】令，则，
则
，
所以的值域为.
故答案为：.
【分析】利用整体思想令，整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质即可求出函数的值域，从而即可得出答案。
15．【答案】（-5，3）
【知识点】二次函数的图象；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4在(-2，0)上单调递增，则f(x)>f(-2)=-5，f(x)则函数 的值域为（-5，3） .
故答案为： （-5，3）
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
16．【答案】(-29，3]
【知识点】二次函数的图象；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】解：由题意得在(-3，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，
则f(x)max=f(1)=3，f(x)min=f(-3)=-29，故值域为 (-29，3].
故答案为：(-29，3].
【分析】根据二次函数的性质求解即可.
17．【答案】（1） ，
当 时， 在 上单调递增，
，即 ，与 矛盾，舍去.
当 时， ，即 ，故 .
此时 ，满足 时其函数值域为 .
当 时， 在 上单调递减，
，即 ，舍去.
综上所述： .
（2）由已知得 在 上恒成立
在 上恒成立，
令 ，且 ，则上式
恒成立，记
时， 单调递减， ，
故 .
所以 的取值范围为 .
【知识点】函数恒成立问题；二次函数的性质
【解析】【分析】(1)常规的分类讨论可以解答，也可以另辟蹊径，由函数的开口向上性，可以从最大值着手考虑；
(2)因为4x>0，用参变量分离可得 恒成立，求解可得 的取值范围 .
18．【答案】（1）由于 ， ， ， ， ，
故值域为 .
（2）y＝ ＝ ＝1－ ，
∵x2＋1≥1，∴0＜ ≤2，
∴－1≤1－ ＜1，
故值域为 .
（3）因为 ， ，
画出其图象如图：
观察图象可知值域为 .
（4）设t＝ ，则 且x＝ ，
∴y＝ ＋t＝ ，在 上为单调递增函数，
所以 ，
所以函数的值域为 .
【知识点】函数的值域
【解析】【分析】（1）利用函数解析式结合函数的定义域，再利用代入法求出函数的值域。
（2）利用分离常数法结合平方数的取值范围，从而利用构造法求出函数的值域。
（3）利用二次函数的图象结合函数的定义域，从而求出函数的值域。
（4）利用换元法设t＝ ，则 且x＝ ， 从而得出函数y＝ ＋t＝ ， 再利用二次函数的图象的单调性，从而求出二次函数的值域。
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