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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法
一、单选题
1．（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为-4.
故答案为：D
【分析】由配方法求得，进而得到，即可求解。
2．（2021高一上·缙云月考）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，有。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
3．（2021高一上·信阳期中）已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，设，，则，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
4．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
二、多选题
5．（2021高一上·葫芦岛月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点
【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；函数的值；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】令，得，则，得，
故，，，A符合题意，B不符合题意.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出函数值；利用换元法，令，从而将函数转化为二次函数，，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出二次函数的最小值；再利用二次函数的图象，进而求出二次函数 的图象与轴交点的个数，进而找出正确的选项。
6．（2021高一上·淮安期中）已知f(x-1)=，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f(x-1)=，令，即，所以，
即，所以，A符合题意；
，B符合题意、C不符合题意；
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】首先由整体思想代换即可求出函数的解析式，然后把数值代入计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
三、填空题
7．（2022高二下·双鸭山期末）若函数 ，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ， ， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥0) .
故答案为：x2-2(x≥0)
【分析】通过换元，令 ，则 ，代入原式即可得解.
8．（2021高一上·辽宁期中）已知函数 满足 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：在 中，令 ，则 ，
则 .
故答案为： .
【分析】利用整体思想结合已知条件，计算出x的取值然后再把结果代入到已知的代数式，由此即可得出答案。
9．（2021高一上·泾阳期中）若函数，则 .
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，可得，
，
再将式子中的都换成，可得，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数f(x)的解析式，再利用代入法得出函数的解析式。
四、解答题
10．（2021高一上·昌吉期中）求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，且；
（2）已知函数满足：；
【答案】（1）设，
，因为
所以，，解得，因此，；
（2）令，则，
代入有，
因此，；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，整理化简已知条件由此计算出a与b的取值，从而得出函数的解析式。
(2)根据题意令，由此整理已知条件从而即可得出答案。
11．（2022高一上·徐汇期末）已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：解法一：∵，
∴．
又，∴．
解法二：令，则．由于，所以．
代入原式有，
所以．
（2）解：∵，∴．
∵存在使成立，
∴在时有解．
令，由，得，
设．
则函数的图象的对称轴方程为，
∴当时，函数取得最小值．
∴，即的取值范围为．
【知识点】存在量词命题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）利用构造法或换元法，进而求出函数g(x)的解析式。
（2）利用 结合（1），所以，再利用存在使成立，所以在时有解，令，由结合构造法得出t的取值范围，设，再利用二次函数的对称性，进而得出二次函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数k的取值范围。
12．（2022高一上·南山期末）已知二次函数.
（1）若函数满足，且.求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
【答案】（1）解：设，
由已知代入，
得，
对于恒成立，
故，解得，又由，得，
所以
（2）解：若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当时，即时，上式取得等号，
综上的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由已知且，求出 ，，可得 的解析式；
（2） 对任意，不等式恒成立，所以，所以，推出， 令 ，利用基本不等式可求最大值.
13．（2021高一上·兰州期末）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
【答案】（1）解：因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以
（2）解：由函数，
令，则，
所以，
所以
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)首先根据题意设出函数的解析式，再把数值代入计算出a与b的取值，从而即可得出函数的解析式。
(2)根据题意令由此整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。
14．（2021高一上·福清期中）已知二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】（1）因为二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.代入二次函数表达式有
解得
∴二次函数的解析式为.
（2）因为对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
化简得对一切实数x恒成立，
当时，原不等式为，对一切实数x不恒成立；
当时，
要使不等式恒成立，则，
解得.
综上，实数t的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）先将不等式进行化简，分类讨论，时不成立时，时根据二次不等式恒成立的条件得出求解可得实数t的取值范围。
15．（2021高一上·烟台期中）已知函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）由 ，
用 代替x可得， ，
，
联立方程，
解得： .
（2）函数 在 上单调递减，
证明：任取 ，且 ，
，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合替换法，从而解方程组求出函数 的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上为减函数。
16．（2021高一上·肥城期中）若 是定义在 上的二次函数，对称轴 ，且 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，若对 ， ， ，求实数 的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，设 ，
则由 得
解得： .
所以 .
（2）解：记 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，
由题意可得 .
由（1）知 ，
当 时， ，即
因为 ，对称轴 ，
所以当 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
由题意可得 ，解得 .
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 .
由题意可得 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 或 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二次函数的图象的对称性和代入法，从而解方程组求出二次函数的解析式。
（2） 记 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，由题意可得 ， 由（1）知 ， 再利用已知条件结合二次函数g(x)的图象的对称性和单调性，再结合集合间的关系和分类讨论的方法，从而求出实数k的取值范围。
17．（2021高一上·河东期中）若 是二次函数，且满足 ， ，求 的解析式.
【答案】解：由题意，设
，
，
解得 ，
．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a，b的值，进而求出二次函数的解析式。
18．（2021高一上·静海月考）
（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．
【答案】（1）解：设，则：
，；
；
；
，；
．
（2）解：函数
①，，，
；
②当时，，，
又，∴；
当时，，，
又，∴；
当时，，，
又，∴此时无解.
综上，或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【分析】(1)根据题意设出函数的解析式，再由待定系数法代入计算出b与k的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2) ① 根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。
② 由已知条件对a分情况讨论，代入数值计算出结果即可。
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高中数学人教A版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法
一、单选题
1．（2022·保定模拟）若函数，则函数的最小值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
2．（2021高一上·缙云月考）若，则有（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021高一上·信阳期中）已知，则的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021高一上·开封期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2021高一上·葫芦岛月考）已知函数，则（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的图象与轴只有1个交点
6．（2021高一上·淮安期中）已知f(x-1)=，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2022高二下·双鸭山期末）若函数 ，则 ．
8．（2021高一上·辽宁期中）已知函数 满足 ，则 的值为 ．
9．（2021高一上·泾阳期中）若函数，则 .
四、解答题
10．（2021高一上·昌吉期中）求下列函数的解析式：
（1）已知二次函数满足，且；
（2）已知函数满足：；
11．（2022高一上·徐汇期末）已知函数
（1）求函数的解析式；
（2）设，若存在使成立，求实数的取值范围．
12．（2022高一上·南山期末）已知二次函数.
（1）若函数满足，且.求的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求的最大值.
13．（2021高一上·兰州期末）求下列函数的解析式
（1）已知是一次函数，且满足，求；
（2）若函数，求．
14．（2021高一上·福清期中）已知二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围.
15．（2021高一上·烟台期中）已知函数 满足 .
（1）求函数 的解析式；
（2）判断函数 在 上的单调性，并用定义证明.
16．（2021高一上·肥城期中）若 是定义在 上的二次函数，对称轴 ，且 ， .
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，若对 ， ， ，求实数 的取值范围.
17．（2021高一上·河东期中）若 是二次函数，且满足 ， ，求 的解析式.
18．（2021高一上·静海月考）
（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式；
（2）已知函数①求，，；②若，求a的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】因为，
所以.
从而，
当时，取得最小值，且最小值为-4.
故答案为：D
【分析】由配方法求得，进而得到，即可求解。
2．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由，有。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
3．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】，设，，则，
故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数的解析式。
4．【答案】A
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：由 ，得
，解得 .
故答案为：A.
【分析】由已知条件把-x代入函数的解析式，整理化简即可得出函数f(x)的解析式。
5．【答案】A,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象；函数的值；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【解答】令，得，则，得，
故，，，A符合题意，B不符合题意.
，所以在上单调递增，
，的图象与轴只有1个交点，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】利用已知条件结合代入法，从而求出函数值；利用换元法，令，从而将函数转化为二次函数，，再利用二次函数的图象求最值的方法，进而求出二次函数的最小值；再利用二次函数的图象，进而求出二次函数 的图象与轴交点的个数，进而找出正确的选项。
6．【答案】A,B,D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】由f(x-1)=，令，即，所以，
即，所以，A符合题意；
，B符合题意、C不符合题意；
，D符合题意；
故答案为：ABD
【分析】首先由整体思想代换即可求出函数的解析式，然后把数值代入计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
7．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令 ，则 ， ， 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2(x≥0) .
故答案为：x2-2(x≥0)
【分析】通过换元，令 ，则 ，代入原式即可得解.
8．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解：在 中，令 ，则 ，
则 .
故答案为： .
【分析】利用整体思想结合已知条件，计算出x的取值然后再把结果代入到已知的代数式，由此即可得出答案。
9．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】令，可得，
，
再将式子中的都换成，可得，
所以。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合换元法，从而求出函数f(x)的解析式，再利用代入法得出函数的解析式。
10．【答案】（1）设，
，因为
所以，，解得，因此，；
（2）令，则，
代入有，
因此，；
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)首先由已知条件即可得出c的取值，整理化简已知条件由此计算出a与b的取值，从而得出函数的解析式。
(2)根据题意令，由此整理已知条件从而即可得出答案。
11．【答案】（1）解：解法一：∵，
∴．
又，∴．
解法二：令，则．由于，所以．
代入原式有，
所以．
（2）解：∵，∴．
∵存在使成立，
∴在时有解．
令，由，得，
设．
则函数的图象的对称轴方程为，
∴当时，函数取得最小值．
∴，即的取值范围为．
【知识点】存在量词命题；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值
【解析】【分析】（1）利用构造法或换元法，进而求出函数g(x)的解析式。
（2）利用 结合（1），所以，再利用存在使成立，所以在时有解，令，由结合构造法得出t的取值范围，设，再利用二次函数的对称性，进而得出二次函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数k的取值范围。
12．【答案】（1）解：设，
由已知代入，
得，
对于恒成立，
故，解得，又由，得，
所以
（2）解：若对任意，不等式恒成立，
整理得：恒成立，因为a不为0，
所以，所以，
所以，
令，因为，所以，
若时，此时，
若时，，
当时，即时，上式取得等号，
综上的最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由已知且，求出 ，，可得 的解析式；
（2） 对任意，不等式恒成立，所以，所以，推出， 令 ，利用基本不等式可求最大值.
13．【答案】（1）解：因为是一次函数，设，
则，
所以，
则，解得，
所以
（2）解：由函数，
令，则，
所以，
所以
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】(1)首先根据题意设出函数的解析式，再把数值代入计算出a与b的取值，从而即可得出函数的解析式。
(2)根据题意令由此整理化简函数的解析式，再由二次函数的图象和性质，即可求出函数的值域。
14．【答案】（1）因为二次函数的图象与x轴交于点和，与y轴交于点.代入二次函数表达式有
解得
∴二次函数的解析式为.
（2）因为对一切实数x恒成立，
即对一切实数x恒成立，
化简得对一切实数x恒成立，
当时，原不等式为，对一切实数x不恒成立；
当时，
要使不等式恒成立，则，
解得.
综上，实数t的取值范围是.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）先将不等式进行化简，分类讨论，时不成立时，时根据二次不等式恒成立的条件得出求解可得实数t的取值范围。
15．【答案】（1）由 ，
用 代替x可得， ，
，
联立方程，
解得： .
（2）函数 在 上单调递减，
证明：任取 ，且 ，
，
因为 ，且 ，所以 ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合替换法，从而解方程组求出函数 的解析式。
（2）利用已知条件结合减函数的定义，从而证出函数 在 上为减函数。
16．【答案】（1）解：由题意，设 ，
则由 得
解得： .
所以 .
（2）解：记 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，
由题意可得 .
由（1）知 ，
当 时， ，即
因为 ，对称轴 ，
所以当 时， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 .
由题意可得 ，解得 .
当 时， 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 .
由题意可得 ，解得 .
综上所述， 的取值范围是 或 .
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合二次函数的图象的对称性和代入法，从而解方程组求出二次函数的解析式。
（2） 记 在 上的值域为 ， 在 上的值域为 ，由题意可得 ， 由（1）知 ， 再利用已知条件结合二次函数g(x)的图象的对称性和单调性，再结合集合间的关系和分类讨论的方法，从而求出实数k的取值范围。
17．【答案】解：由题意，设
，
，
解得 ，
．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】利用已知条件结合代入法，从而解方程组求出a，b的值，进而求出二次函数的解析式。
18．【答案】（1）解：设，则：
，；
；
；
，；
．
（2）解：函数
①，，，
；
②当时，，，
又，∴；
当时，，，
又，∴；
当时，，，
又，∴此时无解.
综上，或.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值
【解析】【分析】(1)根据题意设出函数的解析式，再由待定系数法代入计算出b与k的取值，由此即可得出函数的解析式。
(2) ① 根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。
② 由已知条件对a分情况讨论，代入数值计算出结果即可。
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