13.3.1 等腰三角形的性质 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
13.3.1等腰三角形的性质
人教版八年级上册
知识回顾
等腰三角形定义：两边相等的三角形叫做等腰三角形.
如图，△ABC为等腰三角形，其中AB=AC，则AB，AC为腰，BC为底边，两腰的夹角为顶角，腰与底边的夹角为底角.
A
B
C
腰
腰
底边
顶
角
底角
教学目标
1.了解等腰三角形的性质，体会等腰三角形“三线合一”的意义.
2.探索、掌握等腰三角形的性质，并能解决相关实际问题.
新知导入
新知探究
等腰三角形的性质
把一张长方形的纸按图中的虚线对折，并剪去阴影部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的△ABC有什么特点？
知识点 1
A
B
C
新知探究
△ABC是轴对称图形，虚线折痕所在的直线就是对称轴，所以AB=AC，△ABC是等腰三角形
A
B
C
新知探究
剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？把剪出的等腰三角形ABC沿着折痕对折，找出其中重合的线段和角.
A
C
B
D
重合的线段 重合的角
　
AB与AC
BD与CD
AD与AD
∠B 与∠C
∠BAD 与∠CAD
∠ADB 与∠ADC
猜想1：等腰三角形的底角相等。
猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
新知探究
猜想1：等腰三角形的底角相等。
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
证明：作底边BC的中线AD．
在△ABD和△ACD中，
AB=AC，( 已知 )
BD=CD，( 已作 )
AD=AD，( 公共边 )
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
　　 ∴∠B=∠C．
还有其他的证法吗？
新知探究
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
探究新知
证明：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
方法三：作底边上的高
课堂小结
等腰三角形性质1:等腰三角形的两个底角相等
(简称：等边对等角).
A
C
B
几何语言：
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
应用“等边对等角”的前提条件是在同一个三角形中.
新知典例
方法点拨：在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解.
例1 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，延长BC到点D，使得CD＝CA，连接AD，若∠D＝25°，求∠BAC的度数．
解：∵CD＝CA，∠D＝25°，
∴∠CAD＝25°
∴∠BCA＝2∠D＝50°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠BCA＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
课堂练习
1. 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
AB=AC，
在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠ADB=∠ADC，BD=CD即AD为BC的中线.
∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴AD⊥BC.
探究新知
猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合
如图，在△ABC中，AB=AC ，AD平分∠BAC，
求证：AD⊥BC，BD=CD .
B
C
D
A
证明：∵AD是底边BC的中线，∴BD=CD.
AB=AC，
在△ABD和△ACD中， BD=CD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD即
AD为∠CAB的平分线.
∵ ∠ADB+∠ADC=180°，∴AD⊥BC.
探究新知
如图，在△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线，
求证：AD⊥BC，AD平分∠BAC.
A
B
C
D
新知探究
如图，在△ABC中，AB=AC， AD是底边BC的高，
求证： AD平分∠BAC ，BD=CD.
B
C
D
A
证明：∵AD是底边BC的高，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，AB=AC，
AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD .
课堂小结
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
即：等腰三角形
顶角平分线
底边上的高线
底边上的中线
具备其
中一条
另外两条成立
课堂小结
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
几何语言：如图, 在△ABC中,
A
B
C
D
(
(
1
2
（1）∵AB=AC, AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
1
2
BD
CD
(2) ∵AB=AC, AD是中线，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3) ∵AB=AC, AD是角平分线，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
2
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
新知典例
例2 如图 ，已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
若BD＝CE，F为DE的中点.
求证：AF⊥BC.
证明：∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
方法点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线
课堂小练
2.如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE．求证：BD＝CE．
证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
P
课堂小测
1．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD，则∠DBC的度数为（　　）
A．30° B．32°
C．34° D．36°
A
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝50°，则∠CBD的大小是（　　）
A．25° B．40° C．50° D．65°
A
当堂小测
3．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝　 　度．
128
4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．当△ADE是等腰三角形时，∠BAD的度数为 　 　．
60°或30°
当堂小测
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B+∠C＝60°，BC＝15cm，ED、FG分别是AB、AC的垂直平分线，求GE的长．
解：连接AE，AG，
∵∠B+∠C＝60°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠DAE＝∠B＝30°．
∵GF是AC的垂直平分线，
∴AG＝CG，
∴∠CAG＝∠C＝30°．
∴∠AEG＝60°，∠AGE＝60°，
∴△EAG是等边三角形，
∴AE＝AG＝EG，
∵BC＝15cm，
∴GE＝5cm．
课堂总结
等腰
三角形
定义
性质
有两边相等的三角形
等边对等角
三线合一
作业布置
谢谢
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