华师大版八年级数学上册 第12章 整式的乘除 单元测试卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级数学上册 第12章 整式的乘除 单元测试卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 91.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-11 10:49:48 | ||
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文档简介
华师大版八年级数学上册单元测试卷
第12章 整 式 的 乘 除
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是 （ ）
A．a3 a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．6ab÷3a＝2ab
2．下列变形中，是因式分解的是 （ ）
A．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1） D．4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，根据图②你能得到的数学公式是
（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为 （ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
5．计算的结果为 （ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
6．已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是 （ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
8．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为 （ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
二．填空题（每题3分，共24分）
9．计算：2x2 3xy的结果是 ．
10．分解因式：6x2y﹣3xy＝ ．
11．已知x+y＝3，xy＝1，则x2+y2的值为 ．
12．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．则二阶行列式的值为 ．
13．若27×3x＝39，则x的值等于 ．
14．若（x﹣1）（x2+nx+2）的展开式中不含x2项，则n的值是 ．
15．一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 ．
16．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 ．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．计算：a3 a4 a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
18．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
19．计算
（1）已知am＝2，an＝3，求：
①am+n的值；
②a2m﹣n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
21．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
22．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
②若（x，）＝﹣4，则x＝ ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
25．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a3 a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．6ab÷3a＝2ab
解：A、原式＝a7，故A不符合题意．
B、原式＝a6，故B符合题意．
C、原式＝a6，故C不符合题意．
D、原式＝2b，故D不符合题意．
故选：B．
2．下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1） D．4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故这个选项不合题意；
B、右边不是积的形式，故这个选项不合题意；
C、x2﹣2≠（x+1）（x﹣1），故这个选项不合题意；
D、符合因式分解的定义，故这个选项正确．
故选：D．
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，根据图②你能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
解：∵左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：D．
4．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
解：∵（3x±2）2＝9x2±12x+4，
∴b＝±12，
故选：D．
5．计算的结果为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
解：
＝
＝
＝
＝﹣1×
＝．
故选：D．
6．已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解：∵27a×9b＝81，
∴（33）a （32）b＝34，
∴33a 32b＝34，
∴33a+2b＝34，
∴3a+2b＝4．
∴2b＝4﹣3a，
∵a≥2b，
∴a≥4﹣3a，
解得：a≥1．
∴8a+4b＝2a+2（3a+2b）＝8+2a，
∴8a+4b的最小值为：8+2＝10，
故选：B．
7．已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
解：设A＝a+b+c，B＝b+c，
∵a，b，c，d都是正数，
∴A＞B，
则M＝（a+b+c）（b+c+d）＝A（B+d）＝AB+Ad，
N＝（a+b+c+d）（b+c）＝（A+d）B＝AB+Bd，
∴M﹣N＝AB+Ad﹣（AB+Bd）＝（A﹣B）d，
而A＞B，
∴（A﹣B）d＞0，
∴M＞N．
故选A．
8．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．计算：2x2 3xy的结果是 6x3y ．
解：原式＝6x3y．
故答案为：6x3y．
10．分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3xy（2x﹣1） ．
解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
11．已知x+y＝3，xy＝1，则x2+y2的值为 7 ．
解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，x+y＝3，xy＝1，
∴x2+y2＝32﹣2×1＝7，
故答案为：7．
12．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．则二阶行列式的值为 1 ．
解：∵＝ad﹣bc，
∴
＝（x﹣3）（x﹣3）﹣（x﹣4）（x﹣2）
＝x2﹣6x+9﹣x2+6x﹣8
＝1，
故答案为：1．
13．若27×3x＝39，则x的值等于 6 ．
解：∵27×3x＝39，
∴33×3x＝33+x＝39，
∴3+x＝9，
∴x＝6，
故答案为：6．
14．若（x﹣1）（x2+nx+2）的展开式中不含x2项，则n的值是 1 ．
解：（x﹣1）（x2+nx+2）
＝x3+nx2+2x﹣x2﹣nx﹣2
＝x3+（n﹣1）x2+（2﹣n）x﹣2，
∵展开式中不含x2项，
∴n﹣1＝0，
∴n＝1，
故答案为：1．
15．一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 3x﹣4 ．
解：根据题意得：
2（3xy﹣4y）÷（2y）
＝（6xy﹣8y）÷（2y）
＝3x﹣4，
故答案为：3x﹣4．
16．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 10 ．
解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
＝4，
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．
故答案为：10．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．计算：a3 a4 a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
解：原式＝a8+a8﹣4a8＝﹣2a8．
18．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
原式＝．
19．计算
（1）已知am＝2，an＝3，求：
①am+n的值；
②a2m﹣n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
解：（1）①am+n
＝am×an
＝2×3
＝6；
②a2m﹣n
＝a2m÷an
＝（am）2÷an
＝22÷3
＝4÷3
＝；
（2）∵2×8x×16＝223，
∴2×23x×24＝223，
则21+3x+4＝223，
∴1+3x+4＝23，
解得：x＝6．
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
解：（1）该图形总面积整体计算可得（a+b）2，部分求和可得a2+2ab+b2；
（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴当a2+b2＝57，ab＝12时，
（a+b）2＝57+2×12＝81，
∴a+b＝＝9．
21．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
解：【知识生成】
如图1，方法一：已知边长直接求面积为（a﹣b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2﹣4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知识迁移】
方法一：正方体棱长为a+b，
∴体积为（a+b）3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，
∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝6，xy＝，
∴（x﹣y）2＝62﹣4×，
∴（x﹣y）2＝25，
∴x﹣y＝±5；
（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，
∴a+b＝6，ab＝7，
∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90．
22．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x＝，y＝，
∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ （x+1）（x﹣5） ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
解：（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案为：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ 2 ，（﹣3，81）＝ 4 ；
②若（x，）＝﹣4，则x＝ ±2 ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
解：（1）①∵42＝16，
∴（4，16）＝2，
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4，
故答案为：2，4；
②由题意得：，
∴，
∴x＝±2，
故答案为：±2；
（2）①（9，100）﹣（81，10000）
＝（32，102）﹣（34，104）
＝（3，10）﹣（3，10）
＝0；
②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，
∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，
∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，
∵4c＝3×7＝4a×4b，
∴c＝a+b．
25．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
解：设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，
则67897×67898﹣67896×67899
＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
＝（a2+a）﹣（a2+a﹣2）
＝a2+a﹣a2﹣a+2
＝2．
第12章 整 式 的 乘 除
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是 （ ）
A．a3 a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．6ab÷3a＝2ab
2．下列变形中，是因式分解的是 （ ）
A．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1） D．4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，根据图②你能得到的数学公式是
（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
4．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为 （ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
5．计算的结果为 （ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
6．已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为 （ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
7．已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是 （ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
8．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为 （ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
二．填空题（每题3分，共24分）
9．计算：2x2 3xy的结果是 ．
10．分解因式：6x2y﹣3xy＝ ．
11．已知x+y＝3，xy＝1，则x2+y2的值为 ．
12．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．则二阶行列式的值为 ．
13．若27×3x＝39，则x的值等于 ．
14．若（x﹣1）（x2+nx+2）的展开式中不含x2项，则n的值是 ．
15．一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 ．
16．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 ．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．计算：a3 a4 a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
18．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
19．计算
（1）已知am＝2，an＝3，求：
①am+n的值；
②a2m﹣n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
21．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
22．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ ，（﹣3，81）＝ ；
②若（x，）＝﹣4，则x＝ ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
25．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．a3 a4＝a12 B．（a2）3＝a6 C．a8÷a2＝a4 D．6ab÷3a＝2ab
解：A、原式＝a7，故A不符合题意．
B、原式＝a6，故B符合题意．
C、原式＝a6，故C不符合题意．
D、原式＝2b，故D不符合题意．
故选：B．
2．下列变形中，是因式分解的是（ ）
A．（x+1）（x+2）＝x2+3x+2 B．4x2﹣8x﹣1＝4x（x﹣2）﹣1
C．x2﹣2＝（x+1）（x﹣1） D．4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2
解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故这个选项不合题意；
B、右边不是积的形式，故这个选项不合题意；
C、x2﹣2≠（x+1）（x﹣1），故这个选项不合题意；
D、符合因式分解的定义，故这个选项正确．
故选：D．
3．利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2，根据图②你能得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
解：∵左上角正方形的面积＝（a﹣b）2，
还可以表示为a2﹣2ab+b2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．
故选：D．
4．已知（3x+a）2＝9x2+bx+4，则b的值为（ ）
A．4 B．±6 C．12 D．±12
解：∵（3x±2）2＝9x2±12x+4，
∴b＝±12，
故选：D．
5．计算的结果为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
解：
＝
＝
＝
＝﹣1×
＝．
故选：D．
6．已知27a×9b＝81，且a≥2b，则8a+4b的最小值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解：∵27a×9b＝81，
∴（33）a （32）b＝34，
∴33a 32b＝34，
∴33a+2b＝34，
∴3a+2b＝4．
∴2b＝4﹣3a，
∵a≥2b，
∴a≥4﹣3a，
解得：a≥1．
∴8a+4b＝2a+2（3a+2b）＝8+2a，
∴8a+4b的最小值为：8+2＝10，
故选：B．
7．已知a，b，c，d都是正数，如果M＝（a+b+c）（b+c+d），N＝（a+b+c+d）（b+c），那么M，N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不确定
解：设A＝a+b+c，B＝b+c，
∵a，b，c，d都是正数，
∴A＞B，
则M＝（a+b+c）（b+c+d）＝A（B+d）＝AB+Ad，
N＝（a+b+c+d）（b+c）＝（A+d）B＝AB+Bd，
∴M﹣N＝AB+Ad﹣（AB+Bd）＝（A﹣B）d，
而A＞B，
∴（A﹣B）d＞0，
∴M＞N．
故选A．
8．已知（2022﹣m）（2020﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2020﹣m）2的值为（ ）
A．4046 B．2023 C．4042 D．4043
解：∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab．
∴（2022﹣m）2+（2020﹣m）2
＝[（2022﹣m）﹣（2020﹣m）]2+2×（2022﹣m）（2020﹣m）
＝4+2×2021
＝4046．
故选：A．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．计算：2x2 3xy的结果是 6x3y ．
解：原式＝6x3y．
故答案为：6x3y．
10．分解因式：6x2y﹣3xy＝ 3xy（2x﹣1） ．
解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
11．已知x+y＝3，xy＝1，则x2+y2的值为 7 ．
解：∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，x+y＝3，xy＝1，
∴x2+y2＝32﹣2×1＝7，
故答案为：7．
12．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．则二阶行列式的值为 1 ．
解：∵＝ad﹣bc，
∴
＝（x﹣3）（x﹣3）﹣（x﹣4）（x﹣2）
＝x2﹣6x+9﹣x2+6x﹣8
＝1，
故答案为：1．
13．若27×3x＝39，则x的值等于 6 ．
解：∵27×3x＝39，
∴33×3x＝33+x＝39，
∴3+x＝9，
∴x＝6，
故答案为：6．
14．若（x﹣1）（x2+nx+2）的展开式中不含x2项，则n的值是 1 ．
解：（x﹣1）（x2+nx+2）
＝x3+nx2+2x﹣x2﹣nx﹣2
＝x3+（n﹣1）x2+（2﹣n）x﹣2，
∵展开式中不含x2项，
∴n﹣1＝0，
∴n＝1，
故答案为：1．
15．一个三角形的面积为3xy﹣4y，一边长是2y，则这条边上的高为 3x﹣4 ．
解：根据题意得：
2（3xy﹣4y）÷（2y）
＝（6xy﹣8y）÷（2y）
＝3x﹣4，
故答案为：3x﹣4．
16．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为 10 ．
解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，
∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2
＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2
＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3
＝4，
∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．
故答案为：10．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．计算：a3 a4 a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．
解：原式＝a8+a8﹣4a8＝﹣2a8．
18．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2，其中x＝，y＝﹣3．
解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2+y2﹣5y2
＝﹣4xy．
当x＝，y＝﹣3时，
原式＝．
19．计算
（1）已知am＝2，an＝3，求：
①am+n的值；
②a2m﹣n的值；
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
解：（1）①am+n
＝am×an
＝2×3
＝6；
②a2m﹣n
＝a2m÷an
＝（am）2÷an
＝22÷3
＝4÷3
＝；
（2）∵2×8x×16＝223，
∴2×23x×24＝223，
则21+3x+4＝223，
∴1+3x+4＝23，
解得：x＝6．
20．如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；
（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝57，ab＝12，求a+b的值．
解：（1）该图形总面积整体计算可得（a+b）2，部分求和可得a2+2ab+b2；
（2）由（1）题结果可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴当a2+b2＝57，ab＝12时，
（a+b）2＝57+2×12＝81，
∴a+b＝＝9．
21．【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b（a＞b）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之间的等量关系式： （a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2 ；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式： （a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x+y＝6，xy＝，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，求a3+b3的值．
解：【知识生成】
如图1，方法一：已知边长直接求面积为（a﹣b）2；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为（a+b）2﹣4ab，
∴由阴影部分面积相等可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
【知识迁移】
方法一：正方体棱长为a+b，
∴体积为（a+b）3，
方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，即a3+b3+3a2b+3ab2，
∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
（1）由（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
可得（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，
∵x+y＝6，xy＝，
∴（x﹣y）2＝62﹣4×，
∴（x﹣y）2＝25，
∴x﹣y＝±5；
（2）∵|a+b﹣6|+（ab﹣7）2＝0，
∴a+b＝6，ab＝7，
∵（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2＝63﹣3ab（a+b）＝216﹣3×7×6＝90．
22．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy
（1）求所捂的多项式；
（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．
解：（1）设多项式为A，
则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．
（2）∵x＝，y＝，
∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．
23．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ （x+1）（x﹣5） ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
解：（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案为：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
24．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．
例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：
①（4，16）＝ 2 ，（﹣3，81）＝ 4 ；
②若（x，）＝﹣4，则x＝ ±2 ．
（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下的证明：
设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4，即（3，4）＝x，
所以（3n，4n）＝（3，4）．试解决下列问题：．
①计算（9，100）﹣（81，10000）
②若（16，49）＝a，（4，3）＝b，（16，441）＝c，请探索a，b，c之间的数量关系．
解：（1）①∵42＝16，
∴（4，16）＝2，
∵（﹣3）4＝81，
∴（﹣3，81）＝4，
故答案为：2，4；
②由题意得：，
∴，
∴x＝±2，
故答案为：±2；
（2）①（9，100）﹣（81，10000）
＝（32，102）﹣（34，104）
＝（3，10）﹣（3，10）
＝0；
②∵（16，49）＝a，（16，441）＝c，
∴（4，7）＝a，（4，21）＝c，
∴4a＝7，4c＝21，4b＝3，
∵4c＝3×7＝4a×4b，
∴c＝a+b．
25．先阅读小亮解答的问题（1），再仿照他的方法解答问题（2）
问题（1）：计算3.1468×7.1468﹣0.14682
小亮的解答如下：
解：设0.1468＝a，则3.1468＝a+3，7.1468＝a+7
原式＝（a+3）（a+7）﹣a2
＝a2+10a+21﹣a2
＝10a+21
把a＝0.1468代入
原式＝10×0.1468+21＝22.468
∴3.1468×7.1468﹣0.14682＝22.468
问题（2）：计算：67897×67898﹣67896×67899．
解：设67897＝a，则67898＝a+1，67896＝a﹣1，67899＝a+2，
则67897×67898﹣67896×67899
＝a（a+1）﹣（a﹣1）（a+2）
＝（a2+a）﹣（a2+a﹣2）
＝a2+a﹣a2﹣a+2
＝2．