华师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 单元测试卷（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级数学上册 第13章 全等三角形 单元测试卷（word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 685.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-11 10:52:28 | ||
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文档简介
华师大版八年级数学上册单元测试卷
第13章 全 等 三 角 形
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是 （ ）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
2．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1
C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0
3．下列命题中，是假命题的是 （ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为 （ ）
A．16 B．13 C．19 D．10
5．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是 （ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A＝50°，∠PBC＝ （ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（ ）
A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
8．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为 （ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
二．填空题（每题3分，共24分）
9．已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 ．
10．如图，△ABC≌△DEF．点B、F、C、E在一条直线上，BE＝5，BF＝1，则CF＝ ．
11．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 ．
12．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 ．
13．如图，在7×7的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 个．
14．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝ 度．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 ．
16．如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝ ．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
18．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE＝BE．
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BE＝CD，AD与CE交于点F．求证：△AEC≌△BDA．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
21．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由．
23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若∠ABC＝∠C＝45°，求证：AD＝EC．
24．如图，在△ACB中，AD为△ACB的角平分线，E为射线CB上的一点，过E点作EF⊥AB，垂足为F．
（1）若∠ACB＝90°，当点E在线段CD上时，EF交AD于G点．
①如图1，求证：∠EGD＝∠EDG．
②画∠CEF的角平分线分别交AC和BA的延长线于M，N点．请在图1中补全图形，并求证：∠MNA＝∠CAD．
（2）如图2，若点E在CB延长线上，EP平分∠CEF交AD延长线于点P，试判断∠C与∠P的数量关系，并说明理由．
25．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
解：当∠B＝50°为顶角时，
此时∠A＝∠C＝＝65°；
当∠B＝50°为底角时，
此时另一底角为50°，顶角为80°，
故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．
故选：B．
2．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0
解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，
∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故选：A．
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
解：A、对顶角相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：B．
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（ ）
A．16 B．13 C．19 D．10
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
5．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
解：根据作图的过程可知：
OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE
∴△OCE≌△ODE（SSS）
∴∠COE＝∠DOE
故选：A．
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A＝50°，∠PBC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
解：连接AP，
在△ABC中，∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，PB＝PC，
∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝50°，
∴∠PBC+∠PCB＝130°﹣50°＝80°，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝40°，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（ ）
A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
解：由作图可知，AE＝AD，AG＝AF，
在△AFE和△AGD中，
，
∴△AFE≌△AGD（SAS），
∴∠AFE＝∠AGD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴EG＝DF，
在△EHG和△DHF中，
，
∴△EHG≌△DHF（AAS），
∴EH＝DH，
在△AHE和△AHD中，
，
∴△AHE≌△AHD（SSS），
∴∠EAH＝∠DAH，
∴AI是△ABC的角平分线．
故选：C．
8．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 8 ．
解：因为△ABC与△DEF全等，
所以x＝5，y＝3，
所以x+y＝8，
故答案为：8．
10．如图，△ABC≌△DEF．点B、F、C、E在一条直线上，BE＝5，BF＝1，则CF＝ 3 ．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＝EC＝1，
∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝5﹣1﹣1＝3．
故答案为：3．
11．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 5 ．
解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD＝5，
∴O到AB的距离等于OD的长，
根据垂线段最短，可知OE最小值为5．
故答案为：5．
12．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 ∠B＝∠C ．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）．
13．如图，在7×7的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 8 个．
解：以A为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
以B为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
作AB的垂直平分线，此时C点有0个，
故答案为：8．
14．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝ 128 度．
解：∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠A＝13°，
∴∠CBD＝∠A+∠BCD＝26°，
又∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D＝26°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠D＝128°．
故答案为：128．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 18 ．
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+BE+CF+AF
＝AB+AC
＝10+8
＝18，
故答案为：18．
16．如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝ 25s ．
解：∵等边三角形ABC的周长为30cm，
∴△ABC的边长为10cm，
由题意知，P、Q第一次时间为20÷（6+14）＝1（秒）
以后每隔30÷（6+14）＝1.5秒，P、Q就会相遇一次，
设P、Q相遇次数为n次，则
当6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，
整理得，9n＝10k+3，
∴（k为正整数）
∴当k＝6时，即n＝6+1＝7时，P、Q两点第二次在三角形ABC的顶点处相遇，
则t1＝1+1.5（n﹣1）＝10（秒），t2＝25s
故答案为：25s．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
18．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE＝BE．
证明（1）在ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CBA＝∠DAB，
∴OA＝OB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE．
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BE＝CD，AD与CE交于点F．
求证：△AEC≌△BDA．
解：在等边三角形ABC中有：
AB＝AC＝BC，∠CAE＝∠ABD，
∵BE＝CD，
∴AB﹣BE＝BC﹣CD，
即AE＝BD，
在△AEC和△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
∵DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
21．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
证明：（1）∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠ACH，
∵AG⊥BM，AH⊥EM，
∴∠AGB＝∠AHC＝90°，
又AB＝AC，
∴△ABG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由．
（1）证明：连接CE，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ACB﹣∠ECB，
即∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠EFC，
∴∠ACE＝∠EFC，
∴EF＝CE，
∴BE＝EF；
（2）AE＝2BD，理由如下：
连接CE，
由（1）得，∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴△ABF和△CEF都是等腰直角三角形，
∴AF＝BF，CF＝EF，
在△CBF和△EAF中，
，
∴△CBF≌△EAF（SAS），
∴BC＝AE，
∵BC＝2BD，
∴AE＝2BD．
23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若∠ABC＝∠C＝45°，求证：AD＝EC．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
在△ABF和△EBF中，
，
∴△ABF≌△EBF（ASA），
∴AF＝EF，
∵AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD＝DE；
（2）∵∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵BD是AE的垂直平分线，
∴BA＝BE，AD＝DE，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠BAD＝∠BED＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴DE＝EC，
∵AD＝DE，
∴AD＝EC．
24．如图，在△ACB中，AD为△ACB的角平分线，E为射线CB上的一点，过E点作EF⊥AB，垂足为F．
（1）若∠ACB＝90°，当点E在线段CD上时，EF交AD于G点．
①如图1，求证：∠EGD＝∠EDG．
②画∠CEF的角平分线分别交AC和BA的延长线于M，N点．请在图1中补全图形，并求证：∠MNA＝∠CAD．
（2）如图2，若点E在CB延长线上，EP平分∠CEF交AD延长线于点P，试判断∠C与∠P的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：①∵AD为△ACB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDA+∠CAD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AGF+∠BAD＝90°，
∴∠CDA＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠EGD，
∴∠EGD＝∠EDG；
②∵NE平分∠CEF，
∴∠CEM＝FEM，
∵∠CEF＝∠EDG+∠EGD，
∴∠CEM+FEM＝∠EDG+∠EGD，
∴∠CEM＝∠EDG，
∴AD∥EN，
∴∠MNA＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠MNA＝∠CAD；
（2）解：结论：2∠P﹣∠C＝90°，
理由：设∠CAD＝∠PAB＝x，∠PEB＝∠PEF＝y，则有，
①×2﹣②得到，∠C＝2∠P﹣90°，
∵2∠P﹣∠C＝90°，
25．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．
第13章 全 等 三 角 形
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是 （ ）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
2．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1
C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0
3．下列命题中，是假命题的是 （ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为 （ ）
A．16 B．13 C．19 D．10
5．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是 （ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A＝50°，∠PBC＝ （ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（ ）
A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
8．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为 （ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
二．填空题（每题3分，共24分）
9．已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 ．
10．如图，△ABC≌△DEF．点B、F、C、E在一条直线上，BE＝5，BF＝1，则CF＝ ．
11．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 ．
12．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 ．
13．如图，在7×7的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 个．
14．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝ 度．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 ．
16．如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝ ．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
18．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE＝BE．
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BE＝CD，AD与CE交于点F．求证：△AEC≌△BDA．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
21．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由．
23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若∠ABC＝∠C＝45°，求证：AD＝EC．
24．如图，在△ACB中，AD为△ACB的角平分线，E为射线CB上的一点，过E点作EF⊥AB，垂足为F．
（1）若∠ACB＝90°，当点E在线段CD上时，EF交AD于G点．
①如图1，求证：∠EGD＝∠EDG．
②画∠CEF的角平分线分别交AC和BA的延长线于M，N点．请在图1中补全图形，并求证：∠MNA＝∠CAD．
（2）如图2，若点E在CB延长线上，EP平分∠CEF交AD延长线于点P，试判断∠C与∠P的数量关系，并说明理由．
25．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．在等腰△ABC中有一个角是50°，那么另外两个角分别是（ ）
A．50°、80° B．50°、80°或 65°、65°
C．65°、65° D．无法确定
解：当∠B＝50°为顶角时，
此时∠A＝∠C＝＝65°；
当∠B＝50°为底角时，
此时另一底角为50°，顶角为80°，
故另外两个角分别是50°，80°或65°，65°．
故选：B．
2．对假命题“若a＞b，则a2＞b2”举一个反例，符合要求的反例是（ ）
A．a＝﹣1，b＝﹣2 B．a＝2，b＝一1 C．a＝2，b＝1 D．a＝﹣1，b＝0
解：当a＝﹣1，b＝﹣2时，a＞b，而a2＜b2，
∴“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，
故选：A．
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．同旁内角互补
C．全等三角形的对应边相等
D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
解：A、对顶角相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，符合题意；
C、全等三角形的对应边相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
D、角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，本选项说法是真命题，不符合题意；
故选：B．
4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（ ）
A．16 B．13 C．19 D．10
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
5．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明△COE≌△DOE的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
解：根据作图的过程可知：
OC＝OD，CE＝DE，OE＝OE
∴△OCE≌△ODE（SSS）
∴∠COE＝∠DOE
故选：A．
6．如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连接BP，CP，若∠A＝50°，∠PBC＝（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
解：连接AP，
在△ABC中，∠BAC＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，
∵边AB，AC的垂直平分线交于点P，
∴PA＝PB，PA＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA，PB＝PC，
∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝50°，
∴∠PBC+∠PCB＝130°﹣50°＝80°，
∵PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝40°，
故选：A．
7．如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（ ）
A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
解：由作图可知，AE＝AD，AG＝AF，
在△AFE和△AGD中，
，
∴△AFE≌△AGD（SAS），
∴∠AFE＝∠AGD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴EG＝DF，
在△EHG和△DHF中，
，
∴△EHG≌△DHF（AAS），
∴EH＝DH，
在△AHE和△AHD中，
，
∴△AHE≌△AHD（SSS），
∴∠EAH＝∠DAH，
∴AI是△ABC的角平分线．
故选：C．
8．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．已知△ABC的三边长为x，3，6，△DEF的三边长为5，6，y．若△ABC与△DEF全等，则x+y的值为 8 ．
解：因为△ABC与△DEF全等，
所以x＝5，y＝3，
所以x+y＝8，
故答案为：8．
10．如图，△ABC≌△DEF．点B、F、C、E在一条直线上，BE＝5，BF＝1，则CF＝ 3 ．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BF＝EC＝1，
∴FC＝BE﹣BF﹣EC＝5﹣1﹣1＝3．
故答案为：3．
11．如图，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，点E为射线BA上一动点，若OD＝5，则OE的最小值为 5 ．
解：∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，OD＝5，
∴O到AB的距离等于OD的长，
根据垂线段最短，可知OE最小值为5．
故答案为：5．
12．如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，连接BE、CD．要使△ABE≌△ACD，则可添加的一个条件是 ∠B＝∠C ．
解：在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
故答案为：∠B＝∠C．（答案不唯一）．
13．如图，在7×7的正方形网格中，A、B两点是格点，如果点C也是格点，且△ABC是等腰三角形，这样的C点有 8 个．
解：以A为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
以B为圆心，AB的长为半径作圆，此时C点有4个，
作AB的垂直平分线，此时C点有0个，
故答案为：8．
14．如图，已知∠A＝13°，AB＝BC＝CD，那么∠BCD＝ 128 度．
解：∵AB＝BC，
∴∠BCA＝∠A＝13°，
∴∠CBD＝∠A+∠BCD＝26°，
又∵BC＝CD，
∴∠CBD＝∠D＝26°，
∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠D＝128°．
故答案为：128．
15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 18 ．
解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+BE+CF+AF
＝AB+AC
＝10+8
＝18，
故答案为：18．
16．如图，等边三角形ABC的周长为30cm，P、Q两点分别从B、C两点同时出发，点P以6cm/s的速度按顺时针方向在三角形的边上运动，点Q以14cm/s的速度按逆时针方向在三角形的边上运动，设P、Q两点第一次在三角形ABC的顶点处相遇的时间为t1，第二次在三角形ABC顶点处相遇的时间为t2，则t2＝ 25s ．
解：∵等边三角形ABC的周长为30cm，
∴△ABC的边长为10cm，
由题意知，P、Q第一次时间为20÷（6+14）＝1（秒）
以后每隔30÷（6+14）＝1.5秒，P、Q就会相遇一次，
设P、Q相遇次数为n次，则
当6×1+6×1.5（n﹣1）＝10k（k为正整数）时，P、Q两点就在三角形ABC的顶点处相遇，
整理得，9n＝10k+3，
∴（k为正整数）
∴当k＝6时，即n＝6+1＝7时，P、Q两点第二次在三角形ABC的顶点处相遇，
则t1＝1+1.5（n﹣1）＝10（秒），t2＝25s
故答案为：25s．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
18．已知：如图，AC＝BD，AD＝BC，AD，BC相交于点O，过点O作OE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）△ABC≌△BAD．
（2）AE＝BE．
证明（1）在ABC和△BAD中，
，
∴△ABC≌△BAD（SSS）；
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CBA＝∠DAB，
∴OA＝OB，
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE．
19．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BE＝CD，AD与CE交于点F．
求证：△AEC≌△BDA．
解：在等边三角形ABC中有：
AB＝AC＝BC，∠CAE＝∠ABD，
∵BE＝CD，
∴AB﹣BE＝BC﹣CD，
即AE＝BD，
在△AEC和△BDA中，
，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝60°时，求∠EDF的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BDE和△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴DE＝EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠B+∠BDE，
即∠DEF+∠CEF＝∠B+∠BDE，
∵△BDE≌△CEF，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴∠DEF＝∠B＝60°，
∵DE＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
21．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．
（1）如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．
（2）如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，连接BD、CE交于点M，连接AM，求证：AM平分∠BME．
证明：（1）∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）如图，过点A作AG⊥DM于G，AH⊥EM于H，
∵△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠CAE＝∠BAD，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠ACH，
∵AG⊥BM，AH⊥EM，
∴∠AGB＝∠AHC＝90°，
又AB＝AC，
∴△ABG≌△ACH（AAS），
∴AG＝AH，
∵AG⊥DM，AH⊥EM，
∴AM平分∠BME．
22．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，E、F分别是AD、AC边上的点．
（1）如图①，连接BE、EF，若∠ABE＝∠EFC，求证：BE＝EF；
（2）如图②，若B、E、F在一条直线上，且∠ABE＝∠BAC＝45°，探究BD与AE的数量之间有何等量关系，并说明理由．
（1）证明：连接CE，
∵AB＝AC，D是BC边的中点，
∴∠ABC＝∠ACB，AD垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠ABC﹣∠EBC＝∠ACB﹣∠ECB，
即∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠EFC，
∴∠ACE＝∠EFC，
∴EF＝CE，
∴BE＝EF；
（2）AE＝2BD，理由如下：
连接CE，
由（1）得，∠ABE＝∠ACE，
∵∠ABE＝∠BAC＝45°，
∴△ABF和△CEF都是等腰直角三角形，
∴AF＝BF，CF＝EF，
在△CBF和△EAF中，
，
∴△CBF≌△EAF（SAS），
∴BC＝AE，
∵BC＝2BD，
∴AE＝2BD．
23．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD，垂足为点F．
（1）求证：AD＝DE；
（2）若∠ABC＝∠C＝45°，求证：AD＝EC．
证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
∵AE⊥BD，
∴∠AFB＝∠EFB＝90°，
在△ABF和△EBF中，
，
∴△ABF≌△EBF（ASA），
∴AF＝EF，
∵AE⊥BD，
∴BD是AE的垂直平分线，
∴AD＝DE；
（2）∵∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵BD是AE的垂直平分线，
∴BA＝BE，AD＝DE，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SSS），
∴∠BAD＝∠BED＝90°，
∴∠EDC＝45°，
∴DE＝EC，
∵AD＝DE，
∴AD＝EC．
24．如图，在△ACB中，AD为△ACB的角平分线，E为射线CB上的一点，过E点作EF⊥AB，垂足为F．
（1）若∠ACB＝90°，当点E在线段CD上时，EF交AD于G点．
①如图1，求证：∠EGD＝∠EDG．
②画∠CEF的角平分线分别交AC和BA的延长线于M，N点．请在图1中补全图形，并求证：∠MNA＝∠CAD．
（2）如图2，若点E在CB延长线上，EP平分∠CEF交AD延长线于点P，试判断∠C与∠P的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：①∵AD为△ACB的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CDA+∠CAD＝90°，
∵EF⊥AB，
∴∠AGF+∠BAD＝90°，
∴∠CDA＝∠AGF，
∵∠AGF＝∠EGD，
∴∠EGD＝∠EDG；
②∵NE平分∠CEF，
∴∠CEM＝FEM，
∵∠CEF＝∠EDG+∠EGD，
∴∠CEM+FEM＝∠EDG+∠EGD，
∴∠CEM＝∠EDG，
∴AD∥EN，
∴∠MNA＝∠BAD，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴∠MNA＝∠CAD；
（2）解：结论：2∠P﹣∠C＝90°，
理由：设∠CAD＝∠PAB＝x，∠PEB＝∠PEF＝y，则有，
①×2﹣②得到，∠C＝2∠P﹣90°，
∵2∠P﹣∠C＝90°，
25．综合与探究
如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．
（1）求证：△ACE≌△ABD．
（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．
（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．
（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE．
∴∠CAE＝∠BAD．
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△ABD，
∴∠AEC＝∠ADB，
∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°．
∴∠DAE+∠DFE＝180°，
∵∠BFC+∠DFE＝180°，
∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°；
（3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．
∵△ACE≌△ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD，
∵AJ⊥CE，AH⊥BD．
∴，
∴AJ＝AH．
在Rt△AFJ和Rt△AFH中，
，
∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL），
∴FJ＝FH．
在Rt△AJE和Rt△AHD中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL），
∴EJ＝DH，
∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH．