人教版（新）八上-12.3 角的平分线的性质 第一课时【优质课件】

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12.3 角的
平分线的性质
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
对折
新课精讲
探索新知
1
知识点
角的平分线的画法
下图是一个平分角的仪器，其中AB= AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD 沿着角的两
边放下，沿AC画一条射线AE，
AE就是这个角的平分线，你能说
明它的道理吗？
A
B
D
C
E
探索新知
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角
形的对应角相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
探索新知
作已知角的平分线的方法.
已知：∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，
交OA于点M，交OB于点N.
(2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长
为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求（如图).
典题精讲
1.作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与
OA，OB分别相交于C，D，然后分别以C，D为圆心，适当的
长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为(　　)
A．大于 CD B．等于 CD
C．小于 CD D．以上答案都不对
A
典题精讲
2.如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ ∠AOB.
导引：要作射线OM，使∠AOM＝ ∠AOB，其实质是作
∠AOB的平分线．
作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，
交OB于点F；
(2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，
两弧在∠AOB的内部交于点C；
(3)画射线OC；
(4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求 (如上图所示)．
探索新知
2
知识点
角的平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出 ∠AOB的平分
线OC. 在OC上任取一点P，过点P 画出OA，OB的垂
线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE并作比较，你
得到什么结论？在OC上再取
几个点试一试.
通过以上测量，你发现了
角的平分线的什么性质？
A
B
O
P
C
D
E
探索新知
1.性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴PD＝PE.
探索新知
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
探索新知
如图， ∠AOC=∠BOC，点 P 在OC 上，PD⊥OA，
PE⊥QB，垂足分别为D，E.求证PD=PE.
证明：∵PD⊥OA， PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE.
探索新知
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF.
导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所
在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中
已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD
即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得．
探索新知
在△BDE和△FDC中，
DE=CD ，
∠DEB=∠C，
BE=FC，
∴ △BDE ≌ △FDC ，
∴ BD=DF .
证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，
∠C＝90°，∴DE＝DC.
探索新知
总 结
由角平分线的性质不用证全等可以直接得线段相等，这是证线段相等的一个简捷方法．
典题精讲
1.如图，在直线MN上求作一点P，使点
P到射线OA和OB 的距离相等.
解：如图，过O作∠AOB的平分线，与直线MN交于点P， 点P即为所求作的点．
典题精讲
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交
BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
A
典题精讲
3.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线， BE平分∠ABC，
交CD于点E，BC＝50，DE＝14，则△BCE的面积等于________．
350
学以致用
小试牛刀
1.角的平分线上的点到角的两边的距离________．用数学语
言表述为：如图，
∵∠1＝∠2，且MH⊥PA，
________⊥________，
∴MH______MK.
相等
MK
PB
＝
小试牛刀
2.工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图，在∠AOB
的边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相
同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP.此做法
用到三角形全等的判定方法是(　　)
A．SAS
B．SSS
C．ASA
D．HL
B
小试牛刀
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
有下列结论：
①CD＝ED； ②AC＋BE＝AB；
③∠BDE＝∠BAC； ④DA平分∠CDE.
其中结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D
小试牛刀
4.如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若
PD＝2，则点P到边OA的距离是(　　)
A．2 B．3
C. D．4
A
5.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，
且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
C
小试牛刀
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC
于点D，DE⊥AB于点E.若AB＝6 cm，求△DEB的周长．
解：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝ED，∠C＝∠DEA＝90°.
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴AC＝AE. ∵CD＝DE， ∴BC＝CD＋DB＝DE＋DB.
又∵AC＝BC， ∴AE＝AC＝DE＋DB.
∴DE＋DB＋BE＝AB＝6 cm. ∴△DEB的周长为6 cm.
小试牛刀
7.感知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°.
易知DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD
＝180°，∠ABD<90°.求证DB＝DC.
小试牛刀
证明：如图，过点D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC
交AC的延长线于F.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
∵∠B＋∠ACD＝180°，∠ACD＋∠FCD＝180°，∴∠B＝∠FCD.
在△DEB和△DFC中，
∴△DEB≌△DFC(AAS)．
∴DB＝DC.
课堂小结
课堂小结
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，
PD⊥ OA于点D，PE⊥OB于点E，
∴PD＝PE.
同学们，
下节课见！
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