人教版（新）八上-12.3 角的平分线的性质 第二课时【优质课件】

(共31张PPT)
12.3 角的
平分线的性质
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
O
D
E
P
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
A
C
B
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1
知识点
角的平分线的判定
如图，由 于点 D ，
于点E，PD= PE ， 可
以得到什么结论 ？
OB
PE
^
PD
^
OA
B
A
D
O
P
E
到一个角的两边的距离相等
的点， 在这个角的平分线上.
探索新知
判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的平分线上．
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
探索新知
例1 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和
CE相交于点D. 求证：AD平分∠BAC.
导引：要证AD平分∠BAC，已知
条件中有两个垂直，即有
点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即
可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证
明△BDE和△CDF全等来完成．
探索新知
证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°.
在△BDE和△CDF中，
∠BDE＝∠CDF
∠DEB＝∠DFC
BE＝CF
∴△BDE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF.
又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，
∴AD平分∠BAC.
探索新知
总 结
证明角平分线的“两种方法”
（1）定义法：应用角平分线的定义.
（2）定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线
上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：
“垂直”和“相等”.
典题精讲
1.解决课时导入提出的问题.
2.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB
两边距离相等的点应是(　　)
A．点M
B．点N
C．点P
D．点Q
A
典题精讲
3.如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，
则点P是(　　)
A．线段CD的中点
B．CD与过点O作CD的垂线的交点
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
C
典题精讲
4.如图，在△ABC中，分别与∠ABC，∠ACB相邻的外角的平
分线相交于点F，连接AF，则下列结论正确的是(　　)
A．AF平分BC
B．AF平分∠BAC
C．AF⊥BC
D．以上结论都正确
B
典题精讲
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交
于点E，若点P使得S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点P(　　)
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的平分线
D．组成∠E的平分线所在的直线(E点除外)
D
探索新知
2
知识点
三角形的角平分线
如图，△ABC的角平分线BM， CN相交于点P.求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂
直于 AB，BC， CA，垂足分
别 为D， E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD=PE.
同理PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
探索新知
探究思考：
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形
得三条角平分线有什么关系？
探索新知
总 结
三角形的角平分线的交点到三边的距离相等，
这个交点叫作三角形的内心.
典题精讲
1.到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的(　　)
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．以上均不对
B
2.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，
50，60，其三条角平分线交于点O，则
S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝ ______________.
4 ∶ 5 ∶6
典题精讲
3.如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD∠ACB的外角的
平分线CE相 交于点P.求证：点P到三边AB，BC，CA所在
直线的距离相等.
典题精讲
证明：如图，过点P分别作PF，PG，PH垂直于直线
AC，AB，BC，垂足分别为F，G，H.
因为BD是△ABC的∠ABC的外角的平分线，点
P在BD上，
所以PG＝PH(角的平分线上
的点到角的两边的距离相等)．
同理PF＝PH，
所以PG＝PH＝PF，即点P到三边AB，BC，CA
所在直线的距离相等．
学以致用
小试牛刀
1.角的内部到角的两边的________相等的点在角的__________
上．因此，判定角平分线，需要满足两个条件：“_____”
和“__________”；其一般思路是“作垂线，证相等”．
距离
平分线
垂直
相等
2.点P在∠AOB的内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，若PD＝
PE，则∠AOP________∠BOP.
＝
小试牛刀
3.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________相等．
三边的距离
4.如图，若点P到AB，BC，CD的距离
都相等，则P是________的平分线与
________的平分线的交点．
∠ABC
∠BCD
小试牛刀
5.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，DE⊥AB，DF⊥AC，
垂足分别为E，F.下列四个结论：
①AB上一点与AC上一点到点D的距离相等；
②AD上任一点到AB，AC的距离相等；
③∠BDE＝∠CDF；
④∠1＝∠2.
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
小试牛刀
6.如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，∠1
与∠2的大小关系是(　　)
A．∠1>∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1<∠2
D．不能确定
B
小试牛刀
7.如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转
站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(　　)
A．一处 B．两处
C．三处 D．四处
D
8.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A＝60°，则
∠BOC的度数为(　　)
A．60° B．90° C．120° D．150°
C
小试牛刀
9.如图，已知F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG＝MN，
△PFG和△PMN的面积相等．试判断点P是否在∠AOB的平分线上，
并说明理由．
解：点P在∠AOB的平分线上．
理由：如图，过点P分别作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E.
∵S△PFG＝ FG PD，S△PMN＝ MN PE，S△PFG＝S△PMN，
∴12FG PD＝ MN PE.
又∵FG＝MN，∴PD＝PE.
∴点P在∠AOB的平分线上．
小试牛刀
10.如图，BP，CP是△ABC的两条外角平分线．
求证：点P在∠A的平分线上．
证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为点M，N，Q.
∵点P在△ABC的外角∠CBM的平分线上，
∴PM＝PQ.
同理PQ＝PN.∴PM＝PN.
∴点P在∠A的平分线上．
课堂小结
课堂小结
角的平分线的性质与判定定理的关系：
(1)都与距离有关，即垂直的条件都应具备．
(2)点在角的平分线上 点到这个角两边的距离相等．　
(3)性质反映只要是角的平分线上的点，到角两边的距离就
一定相等；判定定理反映只要是到角两边距离相等的点，
都应在角的平分线上．
性质
判定定理
同学们，
下节课见！
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