人教版（新）八上-13.3.1 等腰三角形 第二课时【优质课件】

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13.3.1 等腰三角形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1、等腰三角形是怎样定义的？
有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.
①等腰三角形是轴对称图形.
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称为“三线合一”).
②等腰三角形的两个底角相等(简写成 “等边对等角”) .
2、等腰三角形有哪些性质？
D
A
B
C
既是性质又是判定
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形的判定
思考
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
探索新知
如图13.3-4，在△ABC中，∠B=∠C.
作△ABC的角平分线AD.
在△BAD和△CAD中，
∠1=∠2，
∠B=∠C ，
AD=AD，
∴△BAD ≌△CAD (AAS). ∴ AB=AC.
探索新知
归 纳
由上面推证，我们可以得到等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等.那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”).
探索新知
例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么
这个三角形是等腰三角形. 已知： ∠CAE是△ABC 的外角， ∠1=
∠2，AD//BC (图 13.3-5). 求证： AB=AC.
分析：要证明AB=AC，
可先证明∠B=∠C.因为∠1=∠2，
所以可以设法找出∠B，∠C与∠1，
∠2的关系.
探索新知
证明： ∵ AD//BC ，
∴∠1＝∠B ( )，
∠2＝∠C( )，
而已知∠1＝∠2，所以
∠B＝∠C.
∴AB=AC( ).
两直线平行同位角相等
两直线平行内错角相等
等角对等边
探索新知
总 结
等腰三角形的判定方法主要有两种：
一是判定定理；
二是定义. 另外还有很多方法，如在同一个三角形中，三线中两线重合，也能说明是等腰三角形. 但不常用，一般是通过推理得出角相等或边相等，再得出是等腰三角形.
探索新知
例2 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形.
探索新知
作法： (1)作线段AB=a.
(2)作线段AB的垂直平分线
MN，与AB相交于点D.
(3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC
就是所求作的等腰三角形.
典题精讲
1.如图，∠A=36°， ∠DBC = 36°， ∠C = 72°. 分别计算∠1， ∠2的度
数，并说 明图中有哪些等腰三角形.
解： ∠1 = 72°， ∠2= 36°；
图中的等腰三角形有
△ABD，△BDC，△ABC.
典题精讲
2.在△ABC中，∠A和∠B的度数如下，能判定△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝50°，∠B＝70° B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90° D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
3.如果一个三角形的一内角平分线垂直于对边，那么这个三角形一定是(　　)
A．等腰三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
A
探索新知
2
知识点
等腰三角形的性质和判定的综合运用
等腰三角形的判定与性质的异同
相同点：都是在一个三角形中；
区别：判定是由角到边，性质是由边到角．
即：等边 性质判定等角.
性质
判定
探索新知
例3 如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF. 求证：DE＝DF.
导引：要证DE＝DF，可构造以DE和DF为对应边的全等三角形，不妨过点E作EG∥AC交BC于点G，则只要证明△EDG≌△FDC即可，缺少的条件可运用等腰三角形的性质及判定得出．
探索新知
证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，如图，则∠1＝∠F，
∠2＝∠3.∵AB＝AC，∴∠B＝∠3(等边对等角)．
∴∠B＝∠2.∴BE＝EG(等角对等边)．
又∵BE＝CF，∴EG＝CF.
在△EDG和△FDC中，
∠1＝∠F，
∠4＝∠5，
EG＝ FC，
∴△EDG≌△FDC(AAS)． ∴DE＝DF.
典题精讲
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF.给出下列四个结论：
①DE＝DF； ②DB＝DC；
③AD⊥BC； ④AC＝3BF，
其中正确的结论共有 (　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
A
典题精讲
2.在下列三角形中，若AB＝AC，则不能被一条直线分成两个小等腰三
角形的是(　　)
B
学以致用
小试牛刀
1.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也________(简
写成“等角对________”)．
相等
等边
2.在同一个三角形中，由边________可得出它所对的________相等；反过
来，由角________也能得出它所对的边________．
相等
角
相等
相等
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，AB＝5，则AC的长为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
D
小试牛刀
4.如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形
有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
D
5.已知△ABC的三边长分别为4，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，
将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直
线最多可画(　　)
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
B
小试牛刀
6. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60°方向上，轮船沿正
东方向航行30 n mile到达B处后，此时测得灯塔P位于其北偏东30°方
向上，此时轮船与灯塔P的距离是(　　)
A．15 n mile
B．30 n mile
C．45 n mile
D．30 n mile
B
小试牛刀
7.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥
BC交AB于M，交AC于N.若BM＋CN＝9，则线段MN的长为(　　)
A．6
B．7
C．8
D．9
D
小试牛刀
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上的
一点，过点F 作FG⊥BC于G点，并交AB于E点．
求证：(1)AD∥FG；
证明：
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
又∵FG⊥BC， ∴AD∥FG.
小试牛刀
(2)△AFE是等腰三角形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥FG，
∴∠F＝∠CAD，∠AEF＝∠BAD.
∴∠F＝∠AEF.
∴AF＝AE，即△AEF是等腰三角形．
小试牛刀
9.如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE是高，BD与CE相交于点O.
(1)求证OB＝OC；
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°.
∴∠DBC＝∠ECB. ∴OB＝OC.
小试牛刀
(2)若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
解：∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°－2×50°＝80°.
∴∠EOD＝360°－90°－90°－80°＝100°.
∴∠BOC＝∠EOD＝100°.
小试牛刀
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，EF交AB于点E，交AC
的延长线于点F，交BC于点D，且BE＝CF.
求证DE＝DF.
证明：过点E作EG∥AC交BC于点G，
∴∠F＝∠DEG，∠ACB＝∠EGB.
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B.
∴∠B＝∠EGB. ∴BE＝EG.
∵BE＝CF，∴EG＝CF.
∴△EGD≌△FCD(AAS)．∴DE＝DF.
在△EGD和△FCD中，
课堂小结
课堂小结
等腰三角形的三种判定方法：
(1)当三角形有两条边相等时，应用“有两条边相等的 三角形是等腰三角形”来判定．
(2)当三角形中有两个角相等时，应用“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等”来证明．
(3)当线段垂直平分线上的点与线段两端点构成三角形时，应用“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，则构成的三角形是等腰三角形”来证明．
同学们，
下节课见！
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