人教版（新）八上-13.3.1 等腰三角形 第一课时【优质课件】

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13.3.1 等腰三角形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
看到下边三角形了吗，它有何特点呢？我们今天来探讨一下等腰三角形的性质.
腰
腰
顶角
底角
底角
底边
新课精讲
探索新知
1
知识点
等腰三角形边角性质：等边对等角
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？
A
B
C
D
探索新知
仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？
等腰三角形的特征:
(1)等腰三角形的两个底角相等；
(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．
探索新知
由上面的操作过程获得启发，我们可以利用三角形的全等证明这些性质. 如图， △ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD.
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
∴△BAD ≌△CAD (SSS).
∠B=∠C.
这样，我们就证明了性质1
∵
探索新知
归 纳
我们可以发现等腰三角形的性质：
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对顶角”）.
探索新知
例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
解：∵ AB=AC， BD=BC=AD，
∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，
∠A=∠ABD(等边对等角）.
设∠A=x，则 ∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中，有∠A+ ∠ABC=∠C=x+2x=2x=180°. 解得x=36°.
所以，在△ABC 中，∠A=36°， ∠ABC=∠C=72°.
典题精讲
1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数.
解：(1)72°; (2)30°.
典题精讲
2.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为(　　)
A．40° B．50° C．60° D．70°
D
3.如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，∠A＝36°，
则∠1的度数为(　　)
A．36° B．60°
C．72° D．108°
C
典题精讲
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE
分别交AB、BC于点D、E，则∠BAE＝(　　)
A．80°
B．60°
C．50°
D．40°
D
探索新知
2
知识点
等腰三角形的轴对称性：“三线合一”
探究
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的 猜想.
在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一 折.你的猜想仍然成立吗？
探索新知
归 纳
性质2
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的
高相互重合（简写成“三线合一”）
探索新知
例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∠ABC的平分线BG交AC于点G，交AD于点E，EF⊥AB，垂足为F.
(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度数；
(2)求证：EF＝ED.
探索新知
(1)解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠BAD＝50°.
∵AB＝AC，
∴ ∠C＝∠ABC ＝ (180°－∠A)
＝ (180°－50°)＝65°.
(2)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴ED⊥BC，
又∵BG平分∠ABC，EF⊥AB，∴EF＝ED.
探索新知
总 结
(1)等腰三角形的“三线合一”的性质是证明角相等、线段相等和垂直关系的既重要又简便的方法；因为题目的证明或计算所求结果大多都是单一的，所以“三线合一”的性质的应用也是单一的，一般得出一个结论，因此应用要灵活．
(2)在等腰三角形中，作“三线”中“一线”，利用 “三线合一”是等腰三角形中常用的方法．
典题精讲
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝35°，则∠C
的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．60°
C
典题精讲
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，点E在AD上，那么
下列结论不一定正确的是 (　　)
A．AD⊥BC
B．∠EBC＝∠ECB
C．∠ABE＝∠ACE
D．AE＝BE
D
典题精讲
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果
只添加一个条件使∠DAB＝∠EAC，则添加的条件不能为(　　)
A．BD＝CE
B．AD＝AE
C．DA＝DE
D．BE＝CD
C
学以致用
小试牛刀
1.等腰三角形的两个______相等(简写成“等边对等角”)；这里要注意：
“等边对等角”是在__________三角形中．
底角
同一个
2.等腰三角形的顶角________、底边上的______、底边上的_____相互重合(简写成“_______________”)．
平分线
中线
高
三线合一
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，
CD＝4，则△ABC的周长是________．
20
小试牛刀
4.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，
则∠B的大小为(　　)
A．40°
B．36°
C．30°
D．25°
B
小试牛刀
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝63°，点D，E分别是△ABC的边BC，AC
上的点，且AB＝AD＝DE＝EC，则∠C的度数是(　　)
A．21° B．19°
C．18° D．17°
A
6.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，AD＝
3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
A
小试牛刀
7.已知△ABC的周长是1，BC＝1－2AB，则下列直线一定为△ABC的对
称轴的是(　　)
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
C
小试牛刀
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，DF
⊥AC于点F，下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②AD上任意一点到AB，
AC的距离相等；③BD＝CD；④若点P在直线AD上，则PB＝PC . 其
中正确的是(　　)
A．①
B．①③④
C．①②③
D．①②③④
D
小试牛刀
9.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分线，
点E在AD上．请写出图中两对全等三角形，并
选择其中的一对加以证明．
解：△ABE≌△ACE， △EBD≌△ECD，
△ABD≌△ACD(任选其中的两对写出即可)．
选择△ABD≌△ACD证明如下(也可以选择其他两对进行证明)：
∵AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACD.
∵AD是角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AB＝AC， ∴△ABD≌△ACD(ASA)．
小试牛刀
10.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D， E分别在边AB，
AC上，且AD＝AE，连接BE，CD，交于点F.
(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：
∵AB＝AC，∠BAE＝∠DAC，AE＝AD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)． ∴∠ABE＝∠ACD.
小试牛刀
(2)求证：过点A，F的直线垂直平分线段BC.
证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠ABE＝∠ACD， ∴∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，
即∠FBC＝∠FCB. 易得FB＝FC.
∴点F在线段BC的垂直平分线上．又由AB＝AC可得点A也在线段BC的垂直平分线上，
∴过点A，F的直线垂直平分线段BC.
小试牛刀
11.如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证△AEC≌△BED；
证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE.
∵∠A＝∠B， ∴∠BEO＝∠2.
又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO.
∴∠AEC＝∠BED. 在△AEC和△BED中，
∴△AEC≌△BED(ASA)．
小试牛刀
(2)若∠1＝42°，求∠BDE的度数．
解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE.
在△EDC中，∵EC＝ED，∠1＝42°，
∴∠C＝∠EDC＝ ×(180°－42°)＝69°.
∴∠BDE＝∠C＝69°.
课堂小结
课堂小结
这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．
同学们，
下节课见！
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