人教版（新）八上-13.3.2 等边三角形 第二课时【优质课件】

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13.3.2 等边三角形
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
思考1　等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
思考2　这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
新课精讲
探索新知
1
知识点
含30°角的直角三角形的性质
活动　用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．
A
B
D
C
A
B
C
D
探索新知
问题　你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？
A
B
D
C
猜想　在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
探索新知
已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°. 求证：BC = AB．
在△ABC 中，
∵∠C =90°，∠A =30°，
∴∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
A
B
C
D
证明：
探索新知
等边三角形的性质可知，AC也是BD 边上的中线，
∴BC = BD = AB
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
定理：
探索新知
例1 图13. 3-9是屋架设计图的一部分，点 D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC， AB = 7.4m，∠A = 30°立柱 BC， DE 要多长.
解： ∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC= AB ， DE = AD.
∴BC= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB，
∴DE= AD= ×3.7=1.85(m).
答：立柱BC的长是3.7m ， DE的长是1.85m.
探索新知
总 结
利用含30°角的直角三角形的性质，关键有两个元素：
一是30°的角；二是直角三角形．根据这两个元素可建立直角三角形中斜边与直角边之间的关系．
典题精讲
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＋BC＝12 cm，
则AB等于(　　)
A．6 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．9 cm
C
典题精讲
2.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，则下列关
系式正确的为(　　)
A．BD＝CD
B．BD＝2CD
C．BD＝3CD
D．BD＝4CD
B
探索新知
2
知识点
含30°角的直角三角形性质的应用
例2 如图，某货轮于上午8时20分从A处出发，此时观测到海岛B的方位为北偏东60°，该货轮以每小时30海里的速度向东航行到C处，此时观测到海岛B的方位为北偏东30°，继续向东航行到D处，观测到海岛B的方位为北偏西30°.当货轮到达C处时恰好与海岛B相距60海里，求该货轮到达C，D处的时间．
导引：说明△ABC是等腰三角形及△BCD是等边
三角形是解决本题的关键．
探索新知
解：由已知，得∠BAC＝90°－60°＝30°，
∠ACB＝90°＋30°＝120°，∠BCD＝∠BDC＝60°，
∴∠ABC＝∠BCD－∠BAC＝30°， ∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴AC＝BC＝60 海里，
∴货轮从A处到C处所需时间为60÷30＝2(小时)．
∵∠CBD＝∠BCD＝∠BDC ＝60°，
∴△BCD是等边三角形， ∴CD＝BC＝60海里，
∴货轮从C处到D处所需时间为60÷30＝2(小时)，
∴货轮 从A处到D处所需时间为2＋2＝4(小时)．
答：该货轮到达C处的时间是上午10时20分，到达D处的时间是中午12时20分．
探索新知
总 结
本题运用建模思想，把实际问题转化为等边三角形和等腰三角形模型，从而利用等边三角形、等腰三角形及方位角的有关知识解决问题．
典题精讲
1.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于 横梁AD，AB＝8 m，
∠A＝30°，则立柱BC的长度为(　　)
A．4 m
B．8 m
C．10
D．16 m
A
典题精讲
2.如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别
表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则
乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A．3 m
B．4 m
C．5 m
D．6 m
B
学以致用
小试牛刀
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于
____________________．
斜边的一半
2.如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，∠B＝60°，
BE＝10，D是线段AE上的一动点，过点D作
CD交BE于点C，并使得∠CDE＝30°，则CD
长度的取值范围是______________．
0＜CD≤5
小试牛刀
3.实际中有关测量的应用，常常要涉及建立直角三角形模型问题，用
________三角形的性质解决实际问题．
直角
4.如图，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北偏东60°方向，该
轮船以每小时10 n mile的速度向东航行到C处，在C处观测到海岛B在
北偏东30°方向，继续向东航行到D处，在
D处观测到海岛B在北偏西30°方向，当轮船
到达C处时恰与海岛B相距20 n mile.则轮船
到达C处的时间为__________________，
到达D处的时间为__________________．
13时30分
15时30分
小试牛刀
5.已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，CD＝2 cm，
则BC的长是(　　)
A．2 cm B．4 cm
C．8 cm D．16 cm
B
6.△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则BC:AB等于(　　)
A．2:1 B．1:2
C．1:3 D．2:3
B
小试牛刀
7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC的中点，DE⊥
AC于点E.若AE＝2，则EC的长为(　　)
A．2 B．4
C．6 D．8
C
8.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC
于点E，垂足为点D.若BE＝6 cm，则AC等于(　　)
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm D．3 cm
D
小试牛刀
9.小明用测角仪器量出上山的路的坡角(斜坡与水平面的夹角)为30°，他又
测得上山沿坡路登上山顶共需走2 000 m，于是他知道这座山高(　　)
A．500 m B．1 000 m　
C．1 200 m D．1 500 m
B
10.如图，一棵大树在一次强台风中离地面5 m处折断倒下，倒下部分
与地面成30°角，这棵大树在折断前的高度为(　　)
A．10 m B．15 m
C．25 m D．30 m
B
小试牛刀
11.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥
AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点， ∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，
∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)． ∴DE＝DF.
小试牛刀
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．∴∠B＝60°.
∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°.
∴BE＝ BD.
∵BE＝1，∴BD＝2.∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为12.
小试牛刀
12.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC
于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
解：由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°.
∴BD＝AB－AD＝8－2＝6，∠BDE＝90°－60°＝30°，
∴BE＝ BD＝3. EC＝8－3＝5.
∵∠FEC＝90°－60°＝30°，
∴FC＝5× ＝ . ∴AF＝8－ ＝ .
小试牛刀
(2)当AD取何值时，DE＝EF
当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，
∴BE＝CF，BD＝CE.
∵CF＝ CE，∴BE＝ CE.
又∵BE＋CE＝8，
∴CE＝ .∴BD＝ .∴AD＝ .即当AD＝ 时，DE＝EF.
课堂小结
课堂小结
定理 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
利用含30°角的直角三角形的性质求有关线段的长：
依据：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．
用途：求线段长度和证明线段倍分关系．
作法：当图形中含有30°角时，通过作垂线构造含有30°角的直角三角形．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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