人教版（新）八上-13.3.2 等边三角形 第一课时【优质课件】

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13.3.2 等边三角形
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
下列图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？
新课精讲
探索新知
1
知识点
等边三角形的性质
A
B
C
等边三角形的定义
三条边都相等的三角形叫做等边三角形(也叫正三角形).
等边三角形是特殊的等腰三角形.
探索新知
有两边相等的三角形是等腰三角形（定义）
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
满足什么条件的三角形是等边三角形
满足什么条件的三角形是等腰三角形
三边都相等的三角形是等边三角形（定义）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
方法一：从边看
方法二：从角看
方法一：
方法二：
探索新知
想一想：
小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？
探索新知
例1 如图，△ABC是等边三角形，D，E，F分别是三边AB，AC，BC
上的点，且DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，计算△DEF各个内角的度数．
导引：要计算出△DEF各个内角的度数，
有两个途径，即证△DEF为等边三角形
或直接求各个角的度数，由垂直定义
及等边三角形的性质，显然直接求各
个角的度数较易．
探索新知
解： 因为△ABC是等边三角形，
所以∠A＝∠B＝∠C＝60°.
因为DE⊥AC，EF⊥BC，DF⊥AB，
所以∠AED＝∠EFC＝∠FDB＝90°，
所以∠ADE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，
所以∠EDF＝180°－30°－90°＝60°.
同理可得∠DEF＝∠EFD＝60°.
即△DEF各个内角的度数都是60°.
探索新知
总 结
利用等边三角形的性质求角的度数时，通过利用等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°的性质，找出要求角与已知角间的关系来进行相关计算；有时还要结合全等图形等知识来解决．
典题精讲
1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，则∠ADB
的度数为(　　)
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
D
典题精讲
2.如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中
∠α＋∠β的度数是(　　)
A．180°
B．220°
C．240°
D．300°
C
典题精讲
3.如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，
下列结论：其中正确结论的个数为(　　)
①AD⊥BC； ②EF＝FD； ③BE＝BD.
A．3
B．2
C．1
D．0
A
探索新知
2
知识点
等边三角形的判定
三边都相等的三角形是等边三角形.
∵AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定方法：
探索新知
三个角都相等的三角形是等边三角形.
∵ ∠A= ∠ B= ∠ C
∴△ABC是等边三角形
∵ ∠A=60°，AB=BC
∴△ABC是等边三角形
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
探索新知
例2 如图， △ABC是等边三角形， DE//BC，分别交AB， AC于点D，
E.求证: △ADE是等边三角形.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠B， ∠AED=∠C.
∴∠A =∠ADE=∠AED.
∴△ADE是等边三角形.
探索新知
例3 如图，已知△ABC是等边三角形，D为边 AC的中点，AE⊥EC，BD＝EC，证明：△ADE是等边三角形．
导引：从题中条件看用“HL”证明△ABD≌△ACE，可得AD＝AE，
∠BAD＝∠CAE＝60°，因此用判定定理2证△ADE是等边三角形．
探索新知
证明：∵△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，BD⊥AC.
∵AE⊥EC，∴∠BDA＝∠CEA＝90°.
在Rt△ABD 和Rt△ACE中， AB＝AC，
BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠EAD＝∠BAD＝60°，
∴△ADE是等边三角形．
典题精讲
1.下列三角形：
①有两个角等于60°的三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形；
③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；
④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．
其中是等边三角形的有(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③ D．①②③④
D
典题精讲
2.如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q，连接PQ，BM，下面结论：
①△ABE≌△DBC； ②∠DMA＝60°；
③△BPQ为等边三角形； ④MB平分∠AMC，
其中结论正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
D
学以致用
小试牛刀
1.等边三角形的三个内角都________，并且每一个角都等于________．
2.等边三角形是轴对称图形，它有________条对称轴．
相等
60°
3
3.三个角都________的三角形是等边三角形；有一个角是________的等
腰三角形是等边三角形．
相等
60°
小试牛刀
4.下列关于等边三角形的说法正确的有(　　)
①三个角都相等；
②三条边都相等；
③是一种特殊的等腰三角形；
④是一种特殊的直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
小试牛刀
5.如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为(　　)
A．30° B．20°
C．25° D．15°
D
6.如图，在等边三角形ABC中，边长为2，CD平分∠ACB，交AB于点D，
DE∥BC，则△ADE的周长为(　　)
A．2 B．2.5
C．3 D．4
C
小试牛刀
7.如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，
AE，BD分别与CD，CE交于点M，N.有如下结论：
①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN； ③AC＝DN，
其中正确结论的个数是(　　)
A．3
B．2
C．1
D．0
B
小试牛刀
8.下列说法不正确的是(　　)
A．有两个外角为120°的三角形是等边三角形
B．有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形
C．有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形
D．三个外角都相等的三角形是等边三角形
C
小试牛刀
9.如图，木工师傅从边长为90 cm的正三角形木板上锯出一个正六边形
木板，那么正六边形木板的边长为(　　)
A．34 cm
B．32 cm
C．30 cm
D．28 cm
C
小试牛刀
10.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝
AE，AD与CE交于点F.
(1)求证AD＝CE；
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝60°，AB＝AC.
又∵AE＝BD，
∴△AEC≌△BDA(SAS)． ∴AD＝CE.
小试牛刀
(2)求∠DFC的度数．
解：由(1)知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE＝∠BAD.
∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE
＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°.
小试牛刀
11.如图①，在正方形ABCD的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，
根据三角形全等的条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到
四边形EFGH是正方形．
【类比探究】
如图②，在正三角形ABC的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合)．
(1)△ABD，△BCE，△CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明．
小试牛刀
解：△ABD≌△BCE≌△CAF.选择△ABD≌△BCE进行证明(也可以选择△ABD≌△CAF或△BCE≌△CAF进行证明)．
∵△ABC是正三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBE，∠BCE＝∠ACB－∠ACF，
∠CBE＝∠ACF，
∴∠ABD＝∠BCE.
∴△ABD≌△BCE(ASA)．
在△ABD和△BCE中，
小试牛刀
(2)△DEF是否为正三角形？请说明理由．
△DEF是正三角形．理由如下：
∵△ABD≌△BCE≌△CAF，
∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA.
∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD.
∴△DEF是正三角形．
课堂小结
课堂小结
根据条件判定等边三角形的解题技巧：
(1)若已知三边关系，则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”判定．
(2)若已知三角关系，则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”判定．
(3)若已知该三角形是等腰三角形，则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形“判定．
同学们，
下节课见！
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