人教版（新）八上-13.4 课题学习 最短路径问题【优质课件】
文档属性
| 名称 | 人教版（新）八上-13.4 课题学习 最短路径问题【优质课件】 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-09 13:51:21 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
13.4 课题学习 最短路径问题
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课前导入
情景导入
如图，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证AC＝ AB.
证明：过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠AEB＝90°.
∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.∴∠AEB＝∠DAC.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD(AAS)．
∴BE＝CA.∴AC＝12AB.
新课精讲
探索新知
1． 如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短路线．
1
类型
“两点一线”型的应用
解：作法：作A点关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，则点O就是小红的打水点，连接AO，如图，此时小红走的路线A→O→B就是最短路线．
探索新知
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD
上的一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP的最小值的是( )
A．BC
B．CE
C．AD
D．AC
B
探索新知
3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
D
2
类型
“两线一点”型的应用
探索新知
4． 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm.求∠AOB的度数．
解：分别作点P关于直线OB，OA的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．此时△PMN的周长最小．
∵点P关于直线OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.
∵点P关于直线OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD.
∵△PMN周长的最小值是5 cm.∴PM＋PN＋MN＝5 cm，
∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即CD＝5 cm＝OP.∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
探索新知
5．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
3
类型
“两点两线”型的应用
(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
解：如图所示．
作法：(1)作C点关于OA的对称点C1，D点关于OB的对称点D1；
探索新知
6．如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5 m，A，B到外河岸的距离都为5 m，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)．设护城河及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使路程最短？
解：如图所示．分别由A，B向外河岸作垂线，垂足分别为F，G.连接GF，与内河岸相交于点E′，D′.
分别由E′，D′向外河岸引垂线段E′E，D′D，连接AD，BE，则DD′，EE′即为桥．沿A→D→D′→E′→E→B的路线行走路程最短．
探索新知
7．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建一座与河岸垂直的桥CD.问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？
解：(1)过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的宽度；
(2)连接A′B交b于点D；
(3)过点D作DC∥AA′交a于点C.
则CD即为桥的位置．图略．
学以致用
小试牛刀
1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，
不是轴对称图形的是( )
D
2.观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请
画出其对称轴．
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称(画对称轴略)．
小试牛刀
3.如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落
在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24 cm，△ECF
的周长为8 cm，求长方形纸片ABCD的周长．
解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，
∴AB＝AF，BE＝FE. ∵△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，
即AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，
∴长方形纸片ABCD的周长为：
AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB
＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．
小试牛刀
4.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直
线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________；
②求α，β之间的关系式．
20°
10°
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
则∠ACB＝x，∠AED＝y. 在△DEC中，y＝β＋x；
在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β.
小试牛刀
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若
存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，
请说明理由．
存在．如图：
当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
则∠ACB＝x，∠AED＝y.
在△ABD中，x＋α＝β－y；
在△DEC中，x＋y＋β＝180°，
小试牛刀
5.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证△ABE≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，
∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°.
∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
小试牛刀
(2)求∠AED的度数．
解：由(1)知AB＝BE，
∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°.
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BEC＝60°. ∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
同学们，
下节课见！
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13.4 课题学习 最短路径问题
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课前导入
新课精讲
学以致用
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情景导入
如图，在△ABC中，BD＝DC，AD⊥AC，∠BAD＝30°.求证AC＝ AB.
证明：过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，则∠AEB＝90°.
∵∠BAD＝30°，∴BE＝12AB.
∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.∴∠AEB＝∠DAC.
又∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDA，
∴△BED≌△CAD(AAS)．
∴BE＝CA.∴AC＝12AB.
新课精讲
探索新知
1． 如图，小红要从一间房的A点出发到河岸打水后再送到另一间房的B点，请通过作图替小红找出最短路线．
1
类型
“两点一线”型的应用
解：作法：作A点关于河岸的对称点A′，连接A′B，交河岸于点O，则点O就是小红的打水点，连接AO，如图，此时小红走的路线A→O→B就是最短路线．
探索新知
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD
上的一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP的最小值的是( )
A．BC
B．CE
C．AD
D．AC
B
探索新知
3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为( )
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
D
2
类型
“两线一点”型的应用
探索新知
4． 如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5 cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5 cm.求∠AOB的度数．
解：分别作点P关于直线OB，OA的对称点C，D，连接CD，分别交OA，OB于点M，N，连接OC，OD，PM，PN，如图所示．此时△PMN的周长最小．
∵点P关于直线OA的对称点为D，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA.
∵点P关于直线OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB.
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD.
∵△PMN周长的最小值是5 cm.∴PM＋PN＋MN＝5 cm，
∴DM＋CN＋MN＝5 cm，即CD＝5 cm＝OP.∴OC＝OD＝CD，
∴△OCD是等边三角形．∴∠COD＝60°.∴∠AOB＝30°.
探索新知
5．茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上．请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短．
3
类型
“两点两线”型的应用
(2)连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q，连接CP，DQ，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．
解：如图所示．
作法：(1)作C点关于OA的对称点C1，D点关于OB的对称点D1；
探索新知
6．如图，荆州护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5 m，A，B到外河岸的距离都为5 m，从A处到达B处，需经两座桥：DD′，EE′(桥宽不计)．设护城河及两座桥都是东西、南北方向的，如何架桥可使路程最短？
解：如图所示．分别由A，B向外河岸作垂线，垂足分别为F，G.连接GF，与内河岸相交于点E′，D′.
分别由E′，D′向外河岸引垂线段E′E，D′D，连接AD，BE，则DD′，EE′即为桥．沿A→D→D′→E′→E→B的路线行走路程最短．
探索新知
7．如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建一座与河岸垂直的桥CD.问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？
解：(1)过点A作AP⊥a，并在AP上向下截取AA′，使AA′＝河的宽度；
(2)连接A′B交b于点D；
(3)过点D作DC∥AA′交a于点C.
则CD即为桥的位置．图略．
学以致用
小试牛刀
1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，
不是轴对称图形的是( )
D
2.观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？如果是，请
画出其对称轴．
解：题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称(画对称轴略)．
小试牛刀
3.如图，将长方形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落
在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24 cm，△ECF
的周长为8 cm，求长方形纸片ABCD的周长．
解：由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，
∴AB＝AF，BE＝FE. ∵△AFD的周长为24 cm，△ECF的周长为8 cm，
即AD＋DF＋AF＝24 cm，FC＋CE＋FE＝8 cm，
∴长方形纸片ABCD的周长为：
AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB
＝(AD＋DF＋AF)＋(FC＋CE＋FE)＝24＋8＝32(cm)．
小试牛刀
4.在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直
线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.
(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________；
②求α，β之间的关系式．
20°
10°
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
则∠ACB＝x，∠AED＝y. 在△DEC中，y＝β＋x；
在△ABD中，α＋x＝y＋β，∴α＝2β.
小试牛刀
(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若
存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，
请说明理由．
存在．如图：
当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
则∠ACB＝x，∠AED＝y.
在△ABD中，x＋α＝β－y；
在△DEC中，x＋y＋β＝180°，
小试牛刀
5.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．
(1)求证△ABE≌△DCE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，
∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△EBC是等边三角形，∴EB＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°.
∴∠EBA＝∠ECD＝30°.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS)．
小试牛刀
(2)求∠AED的度数．
解：由(1)知AB＝BE，
∠ABE＝30°，
∴∠BAE＝∠BEA＝75°.
同理，∠CDE＝∠CED＝75°.
∵△BEC是等边三角形，
∴∠BEC＝60°. ∴∠AED＝360°－75°－75°－60°＝150°.
同学们，
下节课见！
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