人教版（新）八上-14.2.1 平方差公式【优质课件】

(共35张PPT)
14.2.1
平方差公式
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
复习回顾：多项式与多项式是如何相乘的？
(a + b)( m + n)
=am
+an
+bm
+bn
新课精讲
探索新知
知识点
平方差公式的特征
探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(x + 1)(x － 1)= ;
(m+2)(m－2) = ;
(3)(2 x + 1)(2 x － 1) = .
上面的几个运算都是形如a+b的多项式与形如a－b的多项式相乘.
由于(a+b) (a－b) =a2 － ab + ab －b2= a2 －b2.
1
探索新知
平方差公式：
(1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= =
.
(2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 .
(3)符号语言：(a+b)(a-b)= .
a2-ab+ab-b2
a2-b2
平方差
a2-b2
归 纳
探索新知
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
探索新知
例1
解：
判断下列各式是否满足平方差公式的特征.
(1)(3x＋2)(3x－2)；
(2)(b＋2a)(2a－b)；
(3)(－x＋2y)(－x－2y)；
(4)(x＋2y)(－x－2y)．
(1)满足；(2)满足；(3)满足；(4)不满足．
典题精讲
1.下列计算能运用平方差公式的是(　　)
A．(m＋n)(－m－n)
B．(2x＋3)(3x－2)
C．(5a2－b2c)(bc2＋5a2)
D. ( m2－ n3)(－ m2－ n3)
D
典题精讲
2.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(　　)
A．(2a＋b)(－2a＋b)
B．(a＋2)(2＋a)
C．(－a＋b)(a－b)
D．(a＋b2)(a2－b)
A
探索新知
2
知识点
平方差公式
平方差公式：
(a+b)(a b)=
a2 b2
两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
1、(a – b ) ( a + b) = a2－b2
2、(b + a )(－b + a ) = a2－b2
探索新知
(a+b)(a－b)=(a)2－(b)2
相同为a
相反为b
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等等．
适当交换
合理加括号
探索新知
运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x － 2); (2) (－x+2y)(－x － 2 y).
在(1)中，可以把3x看成a，2看成b，即
(3x+2)(3x－2) = (3x)2 －22.
(a+ b)(a －b) = a2 － b2
例2
分析：
探索新知
(1) (3x+2)(3x － 2)
= (3x)2 － 22
= 9x2 － 4；
(2) (－x+2y)(－x － 2 y)
=(－x ) 2 － (2y ) 2
=x2 － 4y 2.
解：
你还有其他的
计算方法吗？
探索新知
符合平方差特点的，紧扣公式特征，找出公式中的“a”和“b”，用平方差公式直接进行计算，注意作为“a”项的符号为“－”号时，在计算中要连同它的符号一起作为底数，例如上题中的（2）题，结果可能会出现－x2+4y2这样的错解.
总 结
典题精讲
1.根据平方差公式填空：
(1)(－3a＋2)(－3a－2)＝(－3a)2－22＝________；
(2)(2x－3)(________)＝4x2－9；
(3)(________)(5a＋1)＝1－25a2.
9a2－4
2x＋3
1－5a
2.下列运算正确的是(　　)
A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2
C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
C
探索新知
3
知识点
利用平方差公式简便计算
学方差公式之后，我们可利用平方差公式进行简便运算.
探索新知
计算：
(1)( y+2)( y－2) －( y － 1)( y+5);
(2)102 × 98.
例3
解：=y2 － 22 － ( y2+4y － 5)
=y2 － 4 － y2 － 4y+5 = － 4y +1
解：=(100+2) (100 － 2)
= 1002 － 22
= 10 000 － 4 =9 996.
探索新知
运用平方差公式计算两数乘积问题，关键是找到这两个数的平均数，再将原两个数与这个平均数进行比较，变形成两数的和与这两数的差的积的形式，利用平方差公式可求解．
总 结
典题精讲
1.运用平方差公式计算：
(1) (a+3b)(a － 3b); (2) (3+2a)(－ 3+2a);
(3) 51 × 49;
(4) (3x+4)(3x － 4)－(2x+3)(3x － 2).
解： = a2－9b2
解： = 4a2－9
解： = 2499
解： = 3x2－5x－10
典题精讲
2.计算2 0162－2 015×2 017的结果是(　　)
A．1
B．－1
C．2
D．－2
A
学以致用
小试牛刀
1．下列各式，能用平方差公式计算的是(　 　)
A．(x＋2y)(2x－y)　　 B．(x＋y)(x－2y)
C．(x＋2y)(2y－x)　　 D．(x－2y)(2y－x)
2．计算(x2＋ )(x＋ )(x－ )的结果为(　 　)
A．x4＋　 B．x4－
C．x4－ x2＋　 D．x4－ x2＋
C
B
小试牛刀
3．三个连续奇数，若中间一个为n，则它们的积是(　 　)
A．6n3－6n
B．4n3－n
C．n3－4n　
D．n3－n
C
小试牛刀
4．计算：
(1)(a＋2b)(a－2b)；
解：原式＝a2－4b2；
(2) ；
解：＝ －22
＝ x4－4；
小试牛刀
(3)(－x－y)(x－y)；
(4)(a＋2b)(a－2b)－ b(a－8b)．
解：＝(－y－x)(－y＋x)
＝(－y)2－x2
＝y2－x2
解：＝a2－4b2－ ab＋4b2
＝a2－ ab.
小试牛刀
5．先化简，再求值：(2＋x)(2－x)＋(x－1)(x＋5)，其中x＝ .
解：原式＝4－x2＋x2＋5x－x－5
＝4x－1.
小试牛刀
6．将图①中阴影部分的小长方形变换到图②位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是__________________________．
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
小试牛刀
7．如图，从边长为(a＋3)的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则拼成的长方形的另一边长是_______ ．
a＋6
小试牛刀
8．如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接
用含a，b的代数式表示S1，S2；
解：S1＝a2－b2，S2
＝ (2b＋2a)(a－b)
＝(a＋b)·(a－b)．
小试牛刀
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．
8．如图①，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图②的等腰梯形．
解：(a＋b)(a－b)
＝a2－b2.
课堂小结
课堂小结
通过本课时的学习，需要我们掌握：
平方差公式:
(a+b)(a－b)=a2－b2.
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
平方差公式的逆用： a2－b2 = (a+b)(a－b).
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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