人教版（新）八上-14.3.2 公式法 第一课时【优质课件】

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14.3.2 公式法
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
回顾旧知
1、什么叫把多项式分解因式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法
新课精讲
探索新知
1
知识点
直接用平方差公式分解因式
平方差公式：
(a+b)(a－b)=a2－b2
整式乘法
因式分解
这种分解因式的方法称为公式法.
a2－b2= (a+b)(a－b)
探索新知
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 .
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
探索新知
例1
分解因式：
(1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 = (2 x) 2 －3 2 ，
即可用平方 差公式分解因式；在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各
看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为
m 2 － n 2.
分析：
探索新知
解：
(1) 4x2 － 9
=(2 x ）2 － 3 2
= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
(2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2
= [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ]
= (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
探索新知
“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差
公式的有效方法．
总 结
探索新知
例2
分解因式：
(1)9a2－4b2； (2)x2y－4y； (3)(a＋1)2－1；
(4)x4－1； (5)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；对于(3)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；对于(5)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公式进行分解因式．
导引：
探索新知
解：
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)；
(4)原式＝(x2＋1)(x2－1)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)；
(5)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)]
＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z)
＝2y(2x＋2z)
＝4y(x＋z)．
典题精讲
1.下列因式分解正确的是(　　)
A．x2－4＝(x＋4)(x－4) B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y) D．2x＋4＝2(x＋2)
D
2.将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
探索新知
2
知识点
先提取公因式再用平方差公式分解因式
用平方差公式分解因式时，若多项式有公因式，要先提取公因式，再用平方差公式分解因式.
探索新知
分解因式：
(1) x4－y4; (2) a3b － ab.
对于(1)， x4－y4可以写成(x2) 2 － (y2) 2的形式，这样就可以利 用平方差公式进行因式分解了对于(2)， a3b － ab有公因式ab ，应先提出公因式，再进一步分解.
例3
分析：
探索新知
(1) x4－y4 =(x2 ＋ y2)( x2 － y2)
= (x2 ＋ y2) (x＋ y) ( x － y) ；
(2) a3b － ab
=ab(a2 － 1)
=ab(a ＋1)(a － 1).
解：
分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
典题精讲
1.把x3－9x分解因式，结果正确的是(　　)
A．x(x2－9)
B．x(x－3)2
C．x(x＋3)2
D．x(x＋3)(x－3)
D
典题精讲
2.一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得
不够完整的是(　　)
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
学以致用
小试牛刀
1．a2－b2＝____________，即两个数的平方差，等于这两个数的______
与这两个数的________的积．
(a＋b)(a－b)
和
差
2．分解因式：(2a＋b)2－(a＋2b)2＝________________.
3(a＋b)(a－b)
3．已知a＋b＝3，a－b＝5，则式子a2－b2的值是________．
15
小试牛刀
4．已知|x－y＋2|＋(x＋y－2)2＝0，则x2－y2的值为____．
－4
5．分解因式16－x2的结果为(　　)
A．(4－x)(4＋x)
B．(x－4)(x＋4)
C．(8＋x)(8－x)
D．(4－x)2
A
小试牛刀
6．下列二项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋4b2 B．－4b2＋a2
C．－a2－4b2 D．a3－4b2
B
7．－4＋0.09a2因式分解的结果是(　　)
A．(0.3a＋2)(0.3a－2) B．(2＋0.3a)(2－0.3a)
C．(0.03a＋2)(0.03a－2) D．(2＋0.03a)(2－0.03a)
A
小试牛刀
8．下列因式分解正确的是(　　)
A．x2－4＝(x＋4)(x－4)
B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1
C．3mx－6my＝3m(x－6y)
D．2x＋4＝2(x＋2)
D
小试牛刀
9．将(a－1)2－1分解因式，结果正确的是(　　)
A．a(a－1) B．a(a－2)
C．(a－2)(a－1) D．(a－2)(a＋1)
B
10．2 0173－2 017不是下列哪个数的倍数？(　　)
A．2 019 B．2 018
C．2 017 D．2 016
A
小试牛刀
11．一次课堂练习，小颖同学做了以下几道因式分解题，你认为她做得不够完整的是(　　)
A．x3－x＝x(x2－1)
B．x2y－y3＝y(x＋y)(x－y)
C．－m2＋4n2＝(2n＋m)(2n－m)
D．3p2－27q2＝3(p＋3q)(p－3q)
A
小试牛刀
12．分解因式：
(1)4x3y2－x;
＝x(4x2y2－1)
＝x(2xy＋1)(2xy－1)；
(3)m2(x－y)＋n2(y－x)．
＝[4(x－y)]2－[5(x＋y)]2
＝[4(x－y)＋5(x＋y)][4(x－y)－5(x＋y)]
＝－(9x＋y)(x＋9y)；
＝(x－y)(m2－n2)
＝(x－y)(m＋n)(m－n)．
(2)16(x－y)2－25(x＋y)2；
小试牛刀
13．已知a，b，c为△ABC的三边长，求证：(a－c)2－b2是负数．
证明：∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a＋b＞c，b＋c＞a，
即a－c＋b＞0，a－c－b＜0.
∴(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b)＜0.
∴(a－c)2－b2是负数．
小试牛刀
14．利用因式分解证明：257－512能被250整除．
证明：∵257－512＝(52)7－(56)2
＝(57)2－(56)2＝(57＋56)×(57－56)
＝(57＋56)×62 500＝(57＋56)×2502，
∴257－512能被250整除．
课堂小结
课堂小结
应用平方差公式分解因式的注意事项：
(1) 等号左边：
①等号左边应是二项式；
②每一项都可以表示成平方的形式；
③两项的符号相反．
(2)等号右边是等号左边两底数的和与这两个数的差的积．
同学们，
下节课见！
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