人教版（新）八上-11.1.2 三角形的高、中线与角平分线【优质课件】

(共37张PPT)
11.1.2 三角形的
高、中线与角平分线
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
垂线的定义：
线段中点的定义：
当两条直线相交所成的四个角巾，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
把一条线段分成两条相等的线段的点.
角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
新课精讲
探索新知
1
知识点
三角形的高
你能过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
B
A
C
你还记得 “过一点画已知直线的垂线” 吗
探索新知
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的高. 如图所示.
A
B
C
D
如图，线段AD是BC边上的高.
注意：
标明垂直的记号和垂足的字母.
总 结
探索新知
锐角三角形的三条高
每人画一个锐角三角形.
你能画出这个三角形的三条高吗
这三条高之间有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部
O
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
探究交流
探索新知
直角三角形的三条高
在纸上画出一个直角三角形.
(1)画出直角三角形的三条高.
直角边BC边上的高是______；
直角边AB边上的高是______；
斜边AC边上的高是_______.
(2)它们有怎样的位置关系？
将你的结果与同伴进行交流.
A
B
C
AB
CB
D
BD
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
探究交流
探索新知
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高
(1) 钝角三角形的三条高交于一点吗？
(2)它们所在的直线交于一点吗？
将你的结果与同伴进行交流.
O
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
探究交流
探索新知
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高.
总 结
探索新知
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形的三条高的特性：
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
典题精讲
1.如图，(1) (2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三条△ABC的边
BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？
解：
(1)中的∠B是锐角，高AD在△ABC内部．
(2)中的∠B是直角，高AD与边AB重合．
(3)中的∠B是钝角，高AD的垂足在CB
的延长线上， 即高AD在△ABC的外部．
规律：当∠C是锐角时，如果∠B是锐角，高AD在△ABC的内部；
如果∠B是直角，高AD与边AB重合；如果∠B是钝角，高AD的
垂足在CB的延长线上，即高AD在△ABC的外部．
典题精讲
2.在直角三角形中，有两条高是它的________，另一条高在这个
三角形的________．锐角三角形的三条高的交点在______________，
直角三角形的三条高的交点在_______________________，钝角三
角形的三条高所在直线的交点在_________________．
直角边
内部
三角形的内部
三角形的外部
两直角边的交点处
探索新知
2
知识点
三角形的中线
如图 (1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的中线.
用同样方法，你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？
A
B
C
D
(1)
探索新知
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形这边上的中线.
总 结
探索新知
如图 (2)，三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点，木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心.
A
B
C
D
(2)
E
F
探索新知
例1 在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12 cm和15 cm两部分，求△ABC的各边长．
　
导引：因为中线BD将△ABC的周长分成两部分：(BC＋CD)和(AD＋AB)，无法确定谁为12 cm，谁为15 cm，故应分类讨论；另外题中涉及线段较多，因此可建立方程的模型，利用设未知数来求解．
探索新知
解：设AB＝x cm，则AD＝CD＝ x cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12 cm，则x＋ x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，则CD＝4 cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm.
(2)如图②，若AB＋AD＝15 cm，则x＋ x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10 cm，则CD＝5 cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10 cm，10 cm，7 cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8 cm，8 cm，11 cm或10 cm，
10 cm，7 cm.
典题精讲
1. 如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则
AB= 2 ________，BD=____，AE= ____.
AD或BF
CD
AC
2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形 　 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 　 D．周长相等的三角形
B
典题精讲
3.如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和
△BCD的周长的差是(　　)
A．2
B．3
C．6
D．不能确定
A
探索新知
3
知识点
三角形的角平分线
如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸，你能想几种办法画出它的一个内角的平分线？
探索新知
A
B
C
D
任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线，你发现了什么
●
●
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
︶
︶
1
2
三角形的三条角平分线相交于一点，交点在三角形的内部.
因为AD是△ABC的角平分线，
所以∠BAD =∠CAD = ∠BAC.
探索新知
A
C
B
F
E
D
O
因为BE是△ABC的角平分线，所以______=________= _______.因为
CF是△ABC的角平分线，所以∠ACB=2_______=2__________.
∠ABE
∠CBE
∠ABC
∠ACF
∠BCF
探索新知
1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是：
三角形的角平分线是线段，而角的平分线是一条射线；
它们的联系是都是平分角。
2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
(2)看线段的两个端点，其中一个端点是三角形的顶点，另一个端点要落在对边上.
总 结
典题精讲
如图（2)，AD，BE，CF是△ ABC的三条角平分线，则
∠1=______，∠3= _______，∠ACB= 2_______.
∠2
∠ABC
∠4
学以致用
小试牛刀
1.从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画 ______ ，顶点和
_____间的线段叫做三角形的高．锐角三角形的三条高在三角形
的______ ；直角三角形的高，有两条在___________，另一条在
___________；钝角三角形的高，有两条在___________，另一条
在______________．三角形三条高______________都交于一点．
垂线
垂足
内部
直角边上
三角形内部
三角形外部
三角形内部
所在直线
2.三角形的角平分线是三角形一个角的平分线与对边相交，这个
角的顶点与交点之间的_______．它区别于角的平分线在于它是
________，而角的平分线是________．
线段
线段
射线
小试牛刀
3.在三角形中，连接一个_____和它___________的________，所得
______叫做三角形的中线；三角形的一条中线把原三角形分成
________相等的两部分；三角形的三条中线________于一点，这
个点叫做三角形的________．
顶点
所对的边
中点
线段
面积
相交
重心
4.若AD是△ABC的中线，则下列结论中错误的是(　　)
A．AB＝BC B．BD＝DC
C．AD平分BC D．BC＝2DC
A
小试牛刀
5.如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若 AD∶DB
＝CE∶EB＝2∶3，则△DBE与△ADC的面积比为(　　)
A．3∶5
B．4∶5
C．9∶10
D．15∶16
C
小试牛刀
6.如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，下列结论中不
正确的是(　　)
A．DE是△BCD的中线
B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC
D．AD＝EC，DC＝BE
D
小试牛刀
7.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，
BC＝13，AC＝10，AD＝8.求BE的长．
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴S△ABC＝ BC AD＝ AC BE.
∵AD＝8，AC＝10，BC＝13，∴13×8＝10BE.∴BE＝10.4.
小试牛刀
8.如图，已知△ABC的周长为21cm，
AB＝6cm，BC边上的中线AD＝5cm，
△ABD的周长为15 cm.求AC的长．
解：∵AB＝6 cm，AD＝5 cm，△ABD的周长为15 cm，
∴BD＝15－6－5＝4(cm)．
∵AD是BC边上的中线，∴BC＝2BD＝8 cm.
∵△ABC的周长为21 cm，∴AC＝21－6－8＝7(cm)．
小试牛刀
9.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB
于E，∠1＝∠2，则DF与AB有什么位置关系？
并说明理由．
解：DF∥AB.理由如下：
∵DE∥AC，∴∠1＝∠4.
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠3.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.∴DF∥AB.
课堂小结
课堂小结
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及
它们的画法.
2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简
单应用.
今天我们学了什么呢？
同学们，
下节课见！
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