人教版（新）八上-11.2.1 三角形的内角 第二课时【优质课件】

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11.2.1 三角形的内角
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C
等于多少度？你用了什么知识解决的？
回顾旧知
A
B
C
新课精讲
探索新知
1
知识点
直角三角形两锐角的关系
观察这两个直角三角形，它们两锐角之和分别为多少？
那对于任意直角三角形，这一结论是否还成立呢？
探索新知
如图， 在直角三角形ABC中，∠C = 90°， 由三角形内角和
定理，得∠ A+ ∠ B+ ∠ C = 180°，即
∠ A+ ∠ B+90°=180°，
所以
∠ A + ∠ B = 90°
C
A
B
探索新知
直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角 三角形ABC可以写成Rt △ ABC.
总 结
探索新知
如图， ∠ C= ∠ D = 90°，AD，BC 相交于点E.
∠ CAE与∠DBE有什么关系？ 为什么？
在Rt △ ACE中， ∠ CAE=90°－∠ AEC，
在 Rt △ BDE 中，
∠ DBE =90° －∠ BED.
∵ ∠ AEC = ∠ BED ，
∴ ∠ CAE= ∠ DBE.
例1
解：
C
D
E
A
B
探索新知
直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两锐
角互余的本质是三角形内角和定理，是三角形内角和
定理的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形
中已知一锐角可求另一锐角．
总 结
典题精讲
1.如图，∠ACB=90°， CD丄AB，垂足为D.∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
解：
∠ACD＝∠B.理由如下：
因为∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠BCD＝90°.
因为CD⊥AB，
所以∠BCD＋∠B＝90°.
所以∠ACD＝∠B.
A
B
C
D
典题精讲
2.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角
的度数是(　　)
A．120° 　B．90° C．60° 　 D．30°
D
3.如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别相交于点E，F，EP⊥EF，与
∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP＝50°，则∠EPF＝(　　)度．
A．70
B．65
C．60
D．55
A
典题精讲
4.如图，在△ABC中，已知∠ACB＝67°，BE是
AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交
点，∠DCB＝45°.求∠ABE的度数．
解：
∵CD是AB上的高，
∴∠DBC＝90°－∠DCB＝90°－45°＝45°.
∵BE是AC上的高，
∴∠EBC＝90°－∠ECB＝90°－67°＝23°.
∴∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝45°－23°＝22°.
探索新知
2
知识点
直角三角形的判定
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？
假设在△ABC中，∠A＋∠B=90°，由三角形内角和定理，我们可以得到∠C=180 ° －（ ∠A＋∠B）=90°，即∠C是直角，那么△ABC是直角三角形.
探索新知
由三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
总 结
探索新知
判断△EFP为直角三角形有两种方法：有一角是直角或两锐角互余，即要说明∠EPF＝90°或∠EFP＋∠FEP＝90°.
如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，
∠BEF的平分线与∠DFE的平分
线相交于点P.试说明△EFP为
直角三角形．
例2
导引：
探索新知
解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.
∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线，
∴∠PEF＝ ∠BEF，∠PFE＝ ∠DFE.
∴∠PEF＋∠PFE＝ (∠BEF＋∠DFE)
×180°＝90°.
∴∠EPF＝180°－(∠PEF＋∠PFE)＝90°.
∴△EFP为直角三角形．
探索新知
“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义，据此可判定直角三角形；“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定，由三角形内角和定理可知第三个角是直角，因此它的实质还是直角三角形的定义．
总 结
典题精讲
1.如图， ∠C=90 °， ∠1= ∠2， △ ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形．理由如下：
因为∠C＝90°，
所以∠A＋∠2＝90°.
因为∠1＝∠2，
所以∠A＋∠1＝90°.
所以∠ADE＝180°－(∠A＋∠1)＝90°.
所以△ADE是直角三角形。
C
A
B
E
D
2
1
典题精讲
2.已知∠A＝37°，∠B＝53°，则△ABC为(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都有可能
C
3.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A＋∠B＝∠C B．∠A＝ ∠B＝ ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3 D．∠A＝2∠B＝3∠C
D
典题精讲
4.如图，BD平分∠ABC，∠ADB＝60°，∠BDC
＝80°，∠C＝70°.试判断△ABD的形状．
解：在△DBC中，∠DBC＝180°－∠BDC－∠C
＝180°－80°－70°＝30°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝30°.
在△ABD中， ∵∠ADB＋∠ABD＝60°＋30°＝90°，
∴△ABD是直角三角形．
学以致用
小试牛刀
1.直角三角形的两个锐角________．直角三角形可以用符号
“________”表示，直角三角形ABC可以写成____________．
互余
Rt△
Rt△ABC
2.有两个角________的三角形是直角三角形．
互余
3.直角三角形中，一个锐角的度数为30°，则另一个锐角的度数
是(　　)
A．70° B．60° C．45° D．30°
B
4.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　)
A．∠A＝90° B．∠A:∠B:∠C＝3:4:5
C．∠C＝∠A＋∠B D．∠A＋∠B＝90°
B
小试牛刀
6.含30°角的直角三角板与直线l1，l2的位置关系如图所示，已知
l1∥l2，∠ACD＝∠A，则∠1＝(　　)
A．70° B．60°
C．40° D．30°
B
5.如图，AB∥DE，FG⊥BC于F，∠CDE＝40°，则∠FGB＝(　　)
A．40° B．50°
C．60° D．70°
B
小试牛刀
7.如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.
(1)猜测∠1与∠2的关系，并说明理由．
∠1＝∠2.理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴△ABD和△BCE都是直角三角形．
∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°.∴∠1＝∠2.
小试牛刀
(2)如果∠ABC是钝角，如图②，(1)中的结论是否还成立？说明理由．
结论仍然成立．理由如下：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠D＝∠E＝90°.
∴∠1＋∠CBE＝90°，∠2＋∠DBA＝90°.
∵∠CBE＝∠DBA，∴∠1＝∠2.
小试牛刀
8.如图，AB∥CD，∠BAE＋∠DCE＝90°.
(1)说明∠CAE和∠ACE的关系；
解：∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠DCA＝180°.
∴∠BAE＋∠CAE＋∠DCE＋∠ACE＝180°.
又∵∠BAE＋∠DCE＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，即∠CAE和∠ACE互余．
∵∠CAE和∠ACE互余，∴△AEC为直角三角形．
(2)判断△AEC的形状．
课堂小结
课堂小结
根据三角形内角和定理，我们可以得到：
直角三角形的性质：
直角三角形的两个锐角互余。
直角三角形的判定：
有两个角互余的三角形是直角三角形。
同学们，
下节课见！
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