人教版（新）八上-11.3.2 多边形的内角和【优质课件】

(共39张PPT)
11.3.2 多边形
的内角和
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形的各
边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发的方向，一
共转过了多少度呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
多边形的内角和
思考
我们知道，三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都 等于360°.那么，任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用 三角形内角和定理证明四边形的内角和等于360°吗？
探索新知
任意四边形的内角和等于多少度？你是怎样得到的？
A
B
C
D
探索新知
A
B
C
D
2×180
=360
4×180 －360
=360
四边形的内角和是360
3×180 －180
=360
A
B
C
D
A
B
C
D
E
P
探索新知
多边形 的边数 图 形 从一个顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形的
内角和
3
4
5
6
…… …… …… …… ……
n
(n－2)×180
4× 180
2× 180
3× 180
1× 180
0
1
1
2
2
3
3
4
n－3
n－2
探索新知
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3)条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形内角和公式吗？
探索新知
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°,
∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180°
=360°
∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C )
=360°－180°=180°
这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补.
例1
A
B
C
D
探索新知
若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是___．
设这个多边形的边数为n，由题意知，
(n－2)×180°＝1260°，解得n＝9.
例2
导引：
9
探索新知
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内角和公式
列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程求出n，即得多边形
的边数；
(2)已知正多边形每个内角的度数k求边数n的方法：根据多边形
内角和公式列方程：(n－2)×180°＝kn，解方程求出n，即
得多边形的边数．
总 结
典题精讲
1.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？
2.已知正多边形的每个内角都是156°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，则(n－2)×180°＝n×120°，
解得n＝6.所以它是六边形．
解：设这个多边形的边数为n，由题意得(n－2)×180°＝
156°×n，解得n＝15，即这个多边形的边数为15.
典题精讲
4.一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是(　　)
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
C
3.一个多边形的内角和是360°，这个多边形是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　
A．三角形 B．四边形
C．六边形 D．不能确定
B
探索新知
问题1　我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°．得出三角形的外角和是360°有多种方法．如图，你
能说说怎样由外角与
相邻内角互补的关系
得出这个结论吗？
2
知识点
三角形的外角和
Ａ
B
C
D
E
F
1
2
3
探索新知
由 ∠1＋∠BAE＝180°，∠2 ＋ ∠CBF＝180°，
∠3 ＋ ∠ACD＝180°，
得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD ＝540°．
由 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
∠BAE＋∠CBF＋∠ACD
　 ＝540°－180°
＝360°．
探索新知
问题2　如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？
Ａ
B
C
1
2
3
D
4
探索新知
由 ∠BAD +∠1 =180°，
∠ABC +∠2 =180°，
∠BCD +∠3 =180°，
∠ADC +∠4 =180°，
得∠BAD + ∠1 + ∠ABC +∠2 +∠BCD +∠3 +∠ADC+∠4 =180°×4．
由∠BAD +∠ABC +∠BCD +∠ADC =180°×2，
得∠1 +∠2 +∠3 +∠4 =180°×4 －180°×2 =360°．
探索新知
问题3　五边形的外角和等于多少度？六边形呢？仿照上面的
方法试一试．
类比求三角形、四边形的外角和的方法求出五边形的外角和是360°，六边形的外角和是360°(解答过程略)．
探索新知
如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的 和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
例3
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
5
6
分析：（1）任何一个外角同与它相邻
的内角有什么关系？
（2）六边形的6个外角加上与它们相邻
的内角，所得总和是多少？
（3）上述总和与六边形的内角和、外角
和有 什么关系？
联系这些问题，考虑外角和的求法.
探索新知
解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°.因此六边形 的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.这个总和就是六边形的外角和加上内角和.所以外角和等于总和减去内角和，即外角和等于：
6×180°－ (6 － 2) × 180°=2×180 ° =360 °.
探索新知
思考：
如果将例2中六边形换为n边形(n是不小于3的
任意整数），可以得到同样结果吗？
探索新知
由上面的思考可以得到：多边形的外角和等于360°.
归 纳
探索新知
你也可以像以下这样理解为什么多边形的外角和等于360°.
如图11.3-12,从多边形的一个顶点A出发， 沿多边形的各边走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向.
在行程中所转的各个角的和， 就
是多边形的外角和.由于走了一周，
所转的各个角的和等于一个周角，
所以多边形的外角和等 于 360°.
图 11.3-12
探索新知
已知四边形的四个外角度数比为1∶2∶3∶4，求各外角的度数．
导引：由四边形外角和定理和各外角之间的比例关系可求出各外角．
解：设四边形的最小外角为x°，则其他三个外角分别为2x°，
3x°，4x°.根据四边形外角和等于360°，得x°＋2x°＋3x°＋4x°＝360°.
所以x°＝36°，2x°＝72°，3x°＝108°，4x°＝144°.
所以四边形各外角的度数分别为36°，72°，108°，144°.
例4
探索新知
(1)用多边形外角和定理求内(外)角或求正多边形的边数，一般可
利用方程思想通过列方程解决，都是列出外角和的字母表达式：
各个外角的和(如本例)或边数×正多边形每个外角的度数，再
说明它们等于360°，即可求出；
(2)由于多边形的外角和等于360°，因此有些正多边形的内角问
题也可以转化为外角问题来解决.
总 结
学以致用
小试牛刀
1.一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作________条对角线，它们
将n边形分为________ 个三角形，因此n边形的内角和是个三角形的
内角的和，即n边形内角和等于_________________．
(n－3)
(n－2)
(n－2)×180°
2.多边形的外角和等于________；它与边数的多少________．由此可知，
任何多边形不可能有_____个或_______个以上的外角为钝角，也就是
说任何多边形不可能有________个或________个以上的内角为锐角．
360°
无关
4
4
4
4
小试牛刀
3.六边形的内角和是(　　)
A．540° B．720° C．900° D．1 080°
B
4.若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是(　　)
A．6 B．12 C．16 D．18
B
小试牛刀
5.已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
C
6.一个多边形的内角和比外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的
条数是(　　)
A．12 B．13 C．14 D．15
C
小试牛刀
7.一个多边形截去一个角，形成一个新多边形，新多边形的
内角和为2520°.原多边形的边数是多少？
解：2520°÷180°＋2＝16，
所以新多边形为十六边形．
故原多边形的边数为15，16或17.
小试牛刀
8.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得的内角和为1 125°，
当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角．这个内角是
多少度？他求的是几边形的内角和？
解：设此多边形的内角和为x°，则有：
1125因为x°为多边形的内角和，
所以它应为180°的整数倍．
所以x＝180×7＝1260.
所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.
因此这个内角是135°，他求的是九边形的内角和．
小试牛刀
9.在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠B＝∠C，求∠C的度数；
解：∵∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°，
∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝(360°－∠A－∠D)÷2＝70°.
小试牛刀
(2)如图②，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，求∠C的度数；
∵BE∥AD，
∴∠BEC＝∠D＝80°，∠ABE＋∠A＝180°.
∴∠ABE＝180°－∠A＝180°－140°＝40°.
又∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABE＝40°.
∴∠C＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－40°－80°＝60°.
小试牛刀
(3)如图③，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，求∠BEC的度数．
∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°，
∴∠ABC＋∠BCD＝360°－∠A－∠D
＝360°－140°－80°＝140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，
∴∠EBC＝ ∠ABC，∠BCE＝ ∠BCD.
∴∠E＝180°－∠EBC－∠BCE＝180°－ (∠ABC＋∠BCD)
＝180°－ ×140°＝110°.
课堂小结
课堂小结
n边形的内角和：
n边形内角和＝（n一2）×180°
n边形的外角和：
多边形的外角和等于360°
同学们，
下节课见！
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