人教版（新）八上-13.1.2 线段的垂直平分线的性质【优质教案】
文档属性
| 名称 | 人教版（新）八上-13.1.2 线段的垂直平分线的性质【优质教案】 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 938.5KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-09 13:52:06 | ||
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文档简介
班海数学精批——一本可精细批改的教辅
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时
一、学生知识状况分析
学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
二、教学任务分析
在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用 ；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。
第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 ”
第二环节：性质探索与证明
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
引导学生分析证明过程，有如下四种证法：
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P在AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
第四环节：巩固应用
在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
例题：
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
第五环节：随堂练习
课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
习题l.7 第3、4题
四、教学反思
在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．
第2课时
教学目标：
（一）知识与技能
1.通过实际操作，了解什么叫轴对称变换。
2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形
（二）过程与方法
经历实际操作，认真体验的过程，发展学生的空间思维，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用。
（三）情感态度与价值观
1.鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣。
2.初步认识数学和人类生活的密切联系，体验活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识。
3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：
1.轴对称变换的定义
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。
教学难点：
1.作出简单图形关于直线的轴对称图形
2.利用轴对称进行一些图案设计
教学方法：
实验、观察、归纳、讨论、练习等
教具准备：
多媒体课件
教学过程：
（一）创设情境，提出问题。
1.欣赏剪纸图案
剪纸是中国最流行的民间艺术之一，据考古其历史可追溯到6世纪，发展到今天，剪纸更多的是用于装饰，也可作礼品点缀之用或作为礼物赠送他人。下面请欣赏剪纸图片，多媒体展示。
设计意图：欣赏图片，陶冶情操，引发兴趣，问题引入。
2.引入新课：教师提出问题，如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢？下面让我们尝试一种剪纸的基本过程。
（二）探究讨论，发现新知。
1.建立轴对称变换的概念
⑴动手操作，让学生把纸按多媒体演示方法折叠，沿虚线裁剪。
⑵猜测图案，让学生想象图形展开后的形状。
⑶验证结论，将图形打开，看是否与自己想象的一致，多媒体课件演示，几种折叠的方法。
设计意图：让学生动手、动脑经历实际操作，认真体验，猜想验证的过程，培养学生想象力，发展空间思维。
⑷提出问题：
①折痕两侧的图形有什么关系？（让学生回答出关于折痕轴对称，折痕是对称轴）
②两个图形成轴对称有什么特征？
设计意图：本问题的提出，使学生和上节轴对称图形联系起来，形成知识，自然过渡，符合建构主义的从学生原有知识和经验出发，建构新知识的理论。
⑸师生共同总结：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换。
2.轴对称变换的性质
⑴研究图形，探究图形的轴对称变换的作法。
图形中的点A与点A’什么关系？若已知点A和对称轴l，你能作出点A的对称点A’吗？
作法：作AA⊥l，并延长AH至A’，使AH=A’H，则点A’就是所求的点。
如图中△ABC和折痕l，你能作出△ABC关于直线l的轴对称图形吗？
作法：①作点关于直线l的对称点A’
②同理作点B、C关于直线l的对称点B’、C’
③连结A’B’、B’C’、C’A’，则△A’B’C’就是所求作的图形。
设计意图：在自己剪出的图形中找一个点，通过作图找到对称点，由点扩大到面，进而启发诱导学生作出三角形关于直线的对称图形，进而可以用同样方法把整个图形的轴对称图形做出来，在此过程中，不仅培养了作图能力，也渗透了由特殊到一般的思想方法，总结出，要想作图形的轴对称图形，可以先确定关键点的对称点，再连结这些对称点，
⑵轴对称变换的性质
通过作图、观察、对比，分析概括出轴对称变换的性质：图形大小，形状都保持不变，是保距变换、保型变换。
变式练习，熟悉新知。
已知△ABC与直线l，作出△ABC关于直线l轴对称的图形。
学生作图，教师通过多媒体课件演示当对称轴变化时，图形的位置、形状变化情况。
多课轴对称变换后可得连续的可来装饰的图案，通过多媒体演示让学生体会轴对称变换在生活中应用。
设计意图：通过作图，强化本节课重点，提高作图能力，加深对轴对称变换性质的理解，多次变换丰富了要换的内涵，让学生认识到数学在生活中广泛应用，这一系列设计能够强化重点，突破难点。
3.利用轴对称设计图案
借助多媒体欣赏一些精美图片，你能利用本节课知识设计一些生活中常见的图案吗？如花坛、板报、像框等，可以和平移结合起来，效果更好，同学之间交流成果，体验成功乐趣。
设计意图：充分调动课堂学习主动性，培养创新意识，加强数学和生活实际的联系。
（三）收获成果，巩固新知。
开展男女生对抗赛，男女生分成两组，各选一名，代表从智慧树上选题，让同学给出评价，题目设计有一定梯度和开放性。
设计意图：活跃课堂气氛，提高学习效率，巩固新知，加深对轴对称变换的理解。
（四）学习小结，自主评价。
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结。
设计意图：体现教学民主性，同时培养学生归纳，概括能力，有助于学生理清脉络，引导学生反思学习过程，帮助学生认清自我，增强信心，提高兴趣。
（五）布置作业
1.必做题
2.选做题
设计意图：为了适应各层次学生需要，进行分层次作业，让学生带着问题走出课堂，从而把学生的思维引向一个更加广阔的空间。
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13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时
一、学生知识状况分析
学生对于掌握定理以及定理的证明并不存在多大得困难，这是因为在七年级学习《生活中的轴对称》中学生已经有了一定的基础。
二、教学任务分析
在七年级学生已经对线段的垂直平分线有了初步的认识，本节课将进一步深入探索线段垂直平分线的性质和判定。同时，渗透证明一个图形上的每个点都具有某种性质的方法：只需在图形上任取一点作为代表。本节课目标位：
1.证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．
2．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果
教学重点、难点
重点是运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。难点是垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：性质探索与证明；第三环节：逆向思维，探索判定；第四环节：巩固应用 ；第五环节：随堂练习；第六环节：课时小结第七环节：课后作业。
第一环节：创设情境，引入新课
教师用多媒体演示：
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置
其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．
线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．
进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗 ”
第二环节：性质探索与证明
教师鼓励学生思考，想办法来解决此问题。
通过讨论和思考，引导学生分析并写出已知、求证的内容。
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．
求证：PA=PB．
分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等．
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
∴△PCA≌△PCB(SAS)． ；
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
教师用多媒体完整演示证明过程．
第三环节：逆向思维，探索判定
你能写出上面这个定理的逆命题吗 它是真命题吗 这个命题不是“如果……那么……”的形式，要写出它的逆命题，需分析原命题的条件和结论，将原命题写成“如果……那么……”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论。
原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”．结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
引导学生分析证明过程，有如下四种证法：
证法一：
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，
∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．
∴AC=BC，
即P点在AB的垂直平分线上．
证法二：取AB的中点C，过PC作直线．
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
∴P点在AB的垂直平分线上．
证法三：过P点作∠APB的角平分线．
∵AP=BP，∠1=∠2，PC=PC，
△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
∴P点在线段AB的垂直平分线上．
证法四：过P作线段AB的垂直平分线PC．
∵AC=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴P在AB的垂直平分线上．
从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，
我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．
第四环节：巩固应用
在做完性质定理和判定定理的证明以后，引导学生进行总结：（1）线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
（2）到一条线段两个端点的距离相等个点在这条线段的垂直平分线上．因此只需做出这样的两个点即可做出线段的垂直平分线。
例题：
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC。．
证明：∵ AB = AC，
∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上.
∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.
学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
第五环节：随堂练习
课本P23；习题1.7：第1、2题
第六环节：课堂小结
通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？
第七环节：课后作业
习题l.7 第3、4题
四、教学反思
在这一节中，我们作为老师要善于引导学生从问题出发，根据观察、实验的结果，先得出猜想，然后再进行证明，要求学生掌握证明的基本要求和方法，注意数学压想方法的强化和渗透．
第2课时
教学目标：
（一）知识与技能
1.通过实际操作，了解什么叫轴对称变换。
2.如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形
（二）过程与方法
经历实际操作，认真体验的过程，发展学生的空间思维，并从实践中体会轴对称变换在实际生活中的应用。
（三）情感态度与价值观
1.鼓励学生积极参与数学活动，培养学生的数学兴趣。
2.初步认识数学和人类生活的密切联系，体验活动充满着探索与创造，感受数学的应用意识。
3.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
教学重点：
1.轴对称变换的定义
2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形。
教学难点：
1.作出简单图形关于直线的轴对称图形
2.利用轴对称进行一些图案设计
教学方法：
实验、观察、归纳、讨论、练习等
教具准备：
多媒体课件
教学过程：
（一）创设情境，提出问题。
1.欣赏剪纸图案
剪纸是中国最流行的民间艺术之一，据考古其历史可追溯到6世纪，发展到今天，剪纸更多的是用于装饰，也可作礼品点缀之用或作为礼物赠送他人。下面请欣赏剪纸图片，多媒体展示。
设计意图：欣赏图片，陶冶情操，引发兴趣，问题引入。
2.引入新课：教师提出问题，如此漂亮的剪纸是如何剪出的呢？下面让我们尝试一种剪纸的基本过程。
（二）探究讨论，发现新知。
1.建立轴对称变换的概念
⑴动手操作，让学生把纸按多媒体演示方法折叠，沿虚线裁剪。
⑵猜测图案，让学生想象图形展开后的形状。
⑶验证结论，将图形打开，看是否与自己想象的一致，多媒体课件演示，几种折叠的方法。
设计意图：让学生动手、动脑经历实际操作，认真体验，猜想验证的过程，培养学生想象力，发展空间思维。
⑷提出问题：
①折痕两侧的图形有什么关系？（让学生回答出关于折痕轴对称，折痕是对称轴）
②两个图形成轴对称有什么特征？
设计意图：本问题的提出，使学生和上节轴对称图形联系起来，形成知识，自然过渡，符合建构主义的从学生原有知识和经验出发，建构新知识的理论。
⑸师生共同总结：由一个平面图形得到它的轴对称图形，叫做轴对称变换。
2.轴对称变换的性质
⑴研究图形，探究图形的轴对称变换的作法。
图形中的点A与点A’什么关系？若已知点A和对称轴l，你能作出点A的对称点A’吗？
作法：作AA⊥l，并延长AH至A’，使AH=A’H，则点A’就是所求的点。
如图中△ABC和折痕l，你能作出△ABC关于直线l的轴对称图形吗？
作法：①作点关于直线l的对称点A’
②同理作点B、C关于直线l的对称点B’、C’
③连结A’B’、B’C’、C’A’，则△A’B’C’就是所求作的图形。
设计意图：在自己剪出的图形中找一个点，通过作图找到对称点，由点扩大到面，进而启发诱导学生作出三角形关于直线的对称图形，进而可以用同样方法把整个图形的轴对称图形做出来，在此过程中，不仅培养了作图能力，也渗透了由特殊到一般的思想方法，总结出，要想作图形的轴对称图形，可以先确定关键点的对称点，再连结这些对称点，
⑵轴对称变换的性质
通过作图、观察、对比，分析概括出轴对称变换的性质：图形大小，形状都保持不变，是保距变换、保型变换。
变式练习，熟悉新知。
已知△ABC与直线l，作出△ABC关于直线l轴对称的图形。
学生作图，教师通过多媒体课件演示当对称轴变化时，图形的位置、形状变化情况。
多课轴对称变换后可得连续的可来装饰的图案，通过多媒体演示让学生体会轴对称变换在生活中应用。
设计意图：通过作图，强化本节课重点，提高作图能力，加深对轴对称变换性质的理解，多次变换丰富了要换的内涵，让学生认识到数学在生活中广泛应用，这一系列设计能够强化重点，突破难点。
3.利用轴对称设计图案
借助多媒体欣赏一些精美图片，你能利用本节课知识设计一些生活中常见的图案吗？如花坛、板报、像框等，可以和平移结合起来，效果更好，同学之间交流成果，体验成功乐趣。
设计意图：充分调动课堂学习主动性，培养创新意识，加强数学和生活实际的联系。
（三）收获成果，巩固新知。
开展男女生对抗赛，男女生分成两组，各选一名，代表从智慧树上选题，让同学给出评价，题目设计有一定梯度和开放性。
设计意图：活跃课堂气氛，提高学习效率，巩固新知，加深对轴对称变换的理解。
（四）学习小结，自主评价。
学生自主小结，交流在本课学习中的体会、收获，交流学习过程中体验与感受，以及可能存在的困惑，师生合作共同完成课堂小结。
设计意图：体现教学民主性，同时培养学生归纳，概括能力，有助于学生理清脉络，引导学生反思学习过程，帮助学生认清自我，增强信心，提高兴趣。
（五）布置作业
1.必做题
2.选做题
设计意图：为了适应各层次学生需要，进行分层次作业，让学生带着问题走出课堂，从而把学生的思维引向一个更加广阔的空间。
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