人教版（新）八上-14.2.2 完全平方公式【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
14.2.2 完全平方公式
第1课时
【知识与技能】
1.完全平方公式的推导及其应用.
2.完全平方公式的几何解释.
【过程与方法】
经历探索完全平方公式的过程，进一步发展符号感和推理能力.
【情感态度】
在灵活应用公式的过程中激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神.
【教学重点】
完全平方公式的应用.
【教学难点】
完全平方公式的结构特征及几何解释.
一、情境导入，初步认识
问题一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老人都要拿出糖果招待他们，来一个孩子，就给一块糖；来两个孩子，就给每个孩子两块糖，……
（1）第1天有a个男孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（2）第2天有b个女孩子去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块糖？
（3）第3天这（a+b）个孩子一起去看老人，老人一共给了孩子们多少块糖？
（4）这些孩子第3天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？
【教学说明】（4）的结果需要化简，应用乘法法则可求出（a+b）2.引导学生结合教材认识从几何角度解释（a+b）2的结果.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.
【归纳总结】公式的表达式：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a-b）2=a2-2ab+b2.
公式的特征：公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式；左边是两数和的形式时，右边就是这两数的平方和加上这两数积的2倍（和对应加）；左边是两数差的形式时，右边就是这两数的平方和减去这两数积的2倍（差对应减）；两公式结构相同，仅一个符号不同.
二、思考探究，获取新知
例1计算下列各题.
【分析】（1）、（2）可直接应用公式.计算时，如遇小数，应将其化成分数，这样可方便计算.（3）、（4）应注意符号，或可直接应用公式（a-b）2=a2-2ab+b2.
例2计算：（1）1032；（2）2992.
【分析】通过观察可发现103=100+3，299=300-1，这样可应用完全平方公式.
【教学说明】引导学生在实际练习中重点体验完全平方公式的结构特征，正确套用公式，同时注意把完全平方公式展开后每一项的符号不能出错.
例3运用乘法公式计算.
（1）（a-b+c）（a+b-c）；
（2）（2x-y+1）（y-1+2x）；
（3）（x-y+z）2.
【分析】1.为了应用公式计算，先必须对式中各项添上括号，其法则是：如果括号前是正号，括到括号里的各项都不变号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
2.（1）中可以将两因式变成a与b-c的和与差；（2）中两因式可以变成2x与y-1的和与差，运用平方差公式计算；（3）的底数可变形为两式的和或差.
【教学说明】（1）只有符号不同的两个三项式相乘，通过添括号都可以将算式变形为完全平方式或平方差；（2）两因式中绝对值相同的各项若符号全部相同或完全相反，则为完全平方式；若一部分符号相同，则为平方差.
三、运用新知，深化理解
计算：
［（x-2y）（x+2y）］2-［（x-2y）2-（x+2y）2］2.
【教学说明】上述计算是在平方差公式、完全平方公式的基本应用上的延伸，可要求学生尝试动手练习，教师再予以指导.
【归纳总结】①对于比较复杂的整式乘法，先不要急于运算，应首先分析其特点，尽可能用公式进行运算，而且运算过程中尽可能地合并同类项.②必要的时候灵活运用运算公式，采用其逆运算，可以使运算过程简便.
四、师生互动，课堂小结
由学生谈谈本节课所学知识的认识，集体评点.
1.布置作业：从教材“习题14.2”中选取部分题.
2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.
本课时教学重点是引导学生观察分析完全平方公式的结构特征，教师可组织学生独立观察，再在小组内交流，最后由教师归纳评点，以便学生认识与完全平方公式相关的所有变式.
第2课时
　　教学目标：完全平方公式的推导及其应用；完全平方公式的几何解释；视学生对算理的理解，有意识地培养学生的思维条理性和表达能力．
　　教学重点与难点：完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释，灵活应用.
　　教学过程：
　　一、提出问题，学生自学
　　问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a a，那么(a+b)2 应该写成什么样的形式呢？(a+b)2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？
　　（1）(p+1)2 = (p+1)(p+1) = _______； (m+2)2 = _______；
　　（2）(p 1)2 = (p 1)(p 1) = _______； (m 2)2 = _______；
　　学生讨论，教师归纳，得出结果：
　　(1) (p+1)2 = (p+1)(p+1) = p2+2p+1
　　 (m+2)2 = (m+2)(m+2) = m2+ 4m+4
　　(2) (p 1)2 = (p 1)(p 1) = p2 2p+1
　　 (m 2)2 = (m 2)(m 2) = m2 4m+4
　　分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2 p 1，4m=2 m 2，恰好是两个数乘积的二倍(1)(2)之间只差一个符号．
　　推广：计算(a+b)2 = __________；(a b)2 = __________.
　　得到公式，分析公式
　　结论： (a+b)2=a2+2ab+b2 (a b)2=a2 2ab+b2
　　即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍．
　　二、几何分析：
　　你能根据图(1)和图(2)的面积说明完全平方公式吗？
　　图(1)大正方形的边长为(a+b)，面积就是(a+b)2，同时，大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们分别的面积为a2、ab、ab、b2，因此，整个面积为a2+ab+ab+b2 = a2+2ab+b2，即说明(a+b)2 = a2+2ab+b2.
　　类似地可由图(2)说明(a b)2 = a2 2ab+b2.
　　三、例题：
　　例1．应用完全平方公式计算：
　　(1)( 4m+n)2 (2)(y )2 (3)( a b)2 (4)(b a)2
　　解答：(1)( 4m+n)2 = 16m2+8mn+n2
　　(2) (y )2 = y2 y+
　　(3) ( a b)2 = a2+2ab+b2
　　(4) (b a)2 = b2 2ba+a2
　　例2．运用完全平方公式计算：
　　(1)1022 (2)992
　　解答：(1)1022 = (100+2)2 = 10000+400+4 = 10404
　　(2)992 = (100 1)2 = 10000 200+1 = 9801
　　四、添括号法则在公式里的运用
　　问题：在运用公式的时候，有些时候我们需要把一个多项式看作一个整体，把另外一个多项式看作另外一个整体，例如：(a+b+c)(a b+c)和(a+b+c)2，这就需要在式子里添加括号；那么如何加括号呢？它有什么法则呢？它与去括号有何关系呢？
　　学生回顾去括号法则，在去括号时：a+(b+c) = a+b+c，a (b+c) = a b c
　　反过来，就得到了添括号法则：a+b+c = a+(b+c)，a b c = a (b+c)
　　理解法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
　　总结：添括号法则是去括号法则反过来得到的，无论是添括号，还是去括号，运算前后代数式的值都保持不变，所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确．
　　五、小结：
　　1．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
　　2．添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算，灵活运用公式进行运算.
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