1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系（分层练习）（Word版含解析）

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　)
A．(0，1，2) B．(3，6，9)
C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)
2．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.
3．若a＝(2，－1,0)，b＝(3，－4,7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是(　　)
A．0 B．1 C．－2 D．2
4．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为(　　)
A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)
C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)
5．若直线l的方向向量为a＝(，0,1)，平面β的法向量为b＝(－1,0，－2)，则(　　)
A．l∥β B．l⊥β
C．l β D．l与β斜交
6．下列命题中：
①若u，v分别是平面α，β的法向量且α⊥β u·v＝0；
②若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；
③若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．
正确命题的序号是________．
已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，求x的值？
8．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．
证明：PC⊥平面BEF.
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知平面α内的三点A(0，0，1)、B(0，1，0)、C(1，0，0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则(　　)
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
10．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则下列等式中可能不成立的是(　　)
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
11.在三棱锥P－ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB的法向量的是(　　)
A．(1,1，) B．(1，，1)
C．(1,1,1) D．(2，－2,1)
12．已知直线l1的方向向量a＝(2,4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是(　　)
A．－3或1 B．3或－1
C．－3 D．1
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．
14．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列各点中，在平面α内的是________．(把正确的序号都填上)
①(1，－1,1)； ②(1,3，)；
③(1，－3, )； ④(－1,3，－)．
15. 如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
(1)求证：A1E⊥BD；
(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．
【参考答案】
1.　B 解析　向量(1，2，3)与向量(3，6，9)共线．
2.　B 解析　∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行．∴＝＝.∴λ＝6.
3.　C 解析　λa＋b＝λ(2，－1,0)＋(3，－4,7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)．
∵(λa＋b)⊥a，∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
4. C 解析　显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则∴
分别验证各选项可知，只有C项符合．
5.　B 解析　∵b＝－2a，∴a∥b，∴l⊥β.
6.　①②③ 解析　两平面垂直则它们的法向量垂直，反之亦然．
7. 解　∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，使＝k1＋k2，
即(x－4，－2，0)＝k1(－2，2，－2)＋k2(－1，6，－8)，∴解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8.证明　如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵AP＝AB＝2，BC＝AD＝2，四边形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐标分别为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．又E，F分别是AD，PC的中点，
∴E(0，，0)，F(1，，1)．∴＝(2，2，－2)，＝(－1，，1)，＝(1，0，1)．
∴·＝－2＋4－2＝0，·＝2＋0－2＝0.∴⊥，⊥.
∴PC⊥BF，PC⊥EF.又BF∩EF＝F，∴PC⊥平面BEF.
9. A 解析　＝(0，1，－1)，＝(1，0，－1)，
n·＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1)＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1)＝－1×1＋0＋(－1)·(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也为α的一个法向量．又α与β不重合，∴α∥β.
10. D 解析　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A，B正确；
又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C正确．
A 解析　＝(1,0，－2)，＝(－1,1,0)，设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y,1)，
则解得∴n＝(2,2,1)．又(1,1，)＝n，∴A正确．
12.　A 解析　∵|a|＝＝6，∴x＝±4，又∵a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
∴y＝－1－x，∴当x＝4时，y＝－3，当x＝－4时，y＝1，∴x＋y＝1或－3.
13.　平行 解析　＝＋＋＝＋＋＝(＋)＋＋(＋)＝＋
＝＋.∴与，共面．又∵MN 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
14.　② 解析　设①为点B，则＝(－1,0，－1)，·n＝－3－2≠0，∴B不在α内，同理可验证②在α内，③④不在α内．
15.解　如图所示，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.
设正方体的棱长为1，则O，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
则Q(0，1，z)，则＝，＝(－1，－1，1)，
∴∥，∴OP∥BD1.＝，＝(－1，0，z)，
当z＝时，＝，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
16.解　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体棱长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，e)(0≤e≤a)．
(1)＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)，·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0，
∴⊥，即A1E⊥BD.
(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
∵＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)∴n1·＝0，n1·＝0，n2·＝0，n2·＝0.
∴　取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝(1，－1，)．
由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2.
∴2－＝0，即e＝.
∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.