1.1.2 空间向量的数量积运算（分层练习）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 1.1.2 空间向量的数量积运算（分层练习）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 97.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-09 17:21:30 | ||
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文档简介
1.1.2 空间向量的数量积运算
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为 ( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
4．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
7.如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.
能 力 练
综合应用 核心素养
8.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )
A. B．2 C. D.
9．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.· B.·
C.· D.·
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
15．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
17．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点．
(1)求EF，C′G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
18．已知四面体OABC的所有棱长均为1.求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
【参考答案】
1.A 解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，当a与b反向时,不能成立．
D 解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
3. B 解析 ·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理，·＞0，·＞0，∴三角形的三个内角均为锐角．
4. D 解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13.
5. D解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
6. 解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，∴|a＋b|＝.
证明 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|.
∵＝－＝b－a，∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0，
∴⊥，即CC1⊥BD.
8. D解析 ∵＝＋＋∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.
C解析 ＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∴a与b所成的角是60°.
10. B
11. B解析 由(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，得||＝||，故△ABC为等腰三角形．
12.D 解析 A,当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有·＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时·＝0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以·＝0.
13. B 解析 ①②正确；∵与的夹角为120°，∴③不正确，故选B.
14. a2 解析 如图，＝－，＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝0－0－0＋a2＝a2.
15. － 解析 由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－.
16.解 由题意知||＝，||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，∵AB⊥BC，∴·＝0，∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，
∴PB与CD所成的角为60°.
17. 解 设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.
(1)∵＝＋＝－c＋(a－b)＝(a－b－c)，＝＋＝－c－a，
∴·＝(a－b－c)·(－c－a)＝(－a2＋c2)＝，||2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，
||2＝(－c－a)2＝c2＋a2＝，∴||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝，所以EF，C′G所成角的余弦值为.
(2)∵＝＋＋＋＝(a－b)＋b＋c＋＝(a－b)＋b＋c＋(－c－a)＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＝，∴FH的长为.
18.解 (1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(3)|＋＋|＝.
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为 ( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
3．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD是 ( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不确定
4．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于( )
A．12 B．8＋
C．4 D．13
5．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为( )
A．60° B．30° C．135° D．45°
已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
7.如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.
能 力 练
综合应用 核心素养
8.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )
A. B．2 C. D.
9．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三种情况都有可能
11．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
12．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.· B.·
C.· D.·
13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°.
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.
15．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________．
16.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，AB⊥AD，且PA＝AB＝BC＝AD＝1，求PB与CD所成的角．
17．在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别是D′D，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H为C′G的中点．
(1)求EF，C′G所成角的余弦值；
(2)求FH的长．
18．已知四面体OABC的所有棱长均为1.求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)；
(3)|＋＋|.
【参考答案】
1.A 解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b| cos〈a，b〉＝1 〈a，b〉＝0，当a与b反向时,不能成立．
D 解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
3. B 解析 ·＝(－)·(－)＝·－·－·＋2＝2>0，同理，·＞0，·＞0，∴三角形的三个内角均为锐角．
4. D 解析 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cos 120°＝2×4－2×5×(－)＝13.
5. D解析 ∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1··cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝.∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.
6. 解析 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×1×2×cos ＋22＝7，∴|a＋b|＝.
证明 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|.
∵＝－＝b－a，∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝|b||c|cos 60°－|a||c|cos 60°＝0，
∴⊥，即CC1⊥BD.
8. D解析 ∵＝＋＋∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.
C解析 ＝＋＋，∴·＝(＋＋)·＝·＋2＋·＝0＋12＋0＝1，
又||＝2，||＝1.∴cos〈，〉＝＝＝.∴a与b所成的角是60°.
10. B
11. B解析 由(＋－2)·(－)＝(－＋－)·(－)＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝0，得||＝||，故△ABC为等腰三角形．
12.D 解析 A,当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，所以AD1⊥B1C，此时有·＝0；
选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，又AC⊥BB1，BD∩BB1＝B，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时·＝0；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，所以AB⊥AD1，所以·＝0.
13. B 解析 ①②正确；∵与的夹角为120°，∴③不正确，故选B.
14. a2 解析 如图，＝－，＝－＝－，
∴·＝(－)·(－)＝·－·－·＋||2＝0－0－0＋a2＝a2.
15. － 解析 由题意知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×5×＝－15，由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，即|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18－15(λ＋1)＋25λ＝0.解得λ＝－.
16.解 由题意知||＝，||＝，＝＋，＝＋＋，
∵PA⊥平面ABCD，∴·＝·＝·＝0，
∵AB⊥AD，∴·＝0，∵AB⊥BC，∴·＝0，∴·＝(＋)·(＋＋)＝2＝||2＝1，
又∵||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝＝，∴〈，〉＝60°，
∴PB与CD所成的角为60°.
17. 解 设＝a，＝b，＝c，则a·b＝b·c＝c·a＝0，|a|2＝a2＝1，|b|2＝b2＝1，|c|2＝c2＝1.
(1)∵＝＋＝－c＋(a－b)＝(a－b－c)，＝＋＝－c－a，
∴·＝(a－b－c)·(－c－a)＝(－a2＋c2)＝，||2＝(a－b－c)2＝(a2＋b2＋c2)＝，
||2＝(－c－a)2＝c2＋a2＝，∴||＝，||＝，
cos〈，〉＝＝，所以EF，C′G所成角的余弦值为.
(2)∵＝＋＋＋＝(a－b)＋b＋c＋＝(a－b)＋b＋c＋(－c－a)＝a＋b＋c，
∴||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＝，∴FH的长为.
18.解 (1)·＝||·||·cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)
＝12＋1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°＝1.
(3)|＋＋|＝.