1.2 空间向量基本定理（分层练习）（Word版含解析）

1. 2　空间向量基本定理
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.O、A、B、C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则 (　　)
A.、、共线 B.、共线
C.、共线 D．O、A、B、C四点共面
2．以下四个命题中正确的是(　　)
A．空间的任何一个向量都可用其它三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则a，b，c全不是零向量
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则(　　)
A．i＋j＋k　　　 B.i＋j＋k
C．3i＋2j＋5k D．3i＋2j－5k
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是 (　　)
A．a B．b C．a＋2b D．a＋2c
5．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝(　　)
A.a B.a
C.a D.a
6．已知空间四边形OABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a＋b－c B．－a＋b＋c
C.a－b＋c D.a＋b－c
7．已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：E，F，G，H四点共面．
8.如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
(1)；(2)；(3)；(4).
能 力 练
综合应用 核心素养
9．给出下列两个命题：
①如果向量a，b与任何向量不能构成空间的一个基底，那么a，b的关系是不共线；
②O，A，B，C为空间四点，且向量， ，不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面．
其中正确的命题是(　　)
A．仅① B．仅② C．①② D．都不正确
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是 (　　)
①(＋)＋；
②(＋)＋；
③(＋)＋；
④(＋)＋.
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②③④
11．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有(　　)
A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面
12．对于空间的四个向量a，b，c，d最多能构成的基底个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
14．在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.
15．如下图所示，平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.
(1)用a，b，c表示向量，.
(2)设G、H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.
16．如下图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：
(1)＝x＋y＋z.
(2)＝x＋y＋ z.
17．如下图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
(1)证明：A、E、C1、F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值。
【参考答案】
1.　D 解析　由、、不能构成基底知、、三向量共面，所以O、A、B、C四点共面．
2.　B 解析　使用排除法．因为空间中的任何一个向量都可用其它三个不共面的向量来表示，故A不正确；△ABC为直角三角形并不一定是·＝0，可能是·＝0，也可能是·＝0，故C不正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确，故选B.
3.　C
4.　D 解析　能与p，q构成基底，则与p，q不共面．∵a＝，b＝，a＋2b＝p－q.
∴A、B、C都不合题意．因为{a，b，c}为基底，∴a＋2c与p，q不共面，可构成基底．
5.　A解析　＝－＝－＝＋－(＋＋)＝＋－，
∴||＝＝a.
6.　B解析　＝－＝(＋)－＝b＋c－a.
7.证明　∵E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边的中点，∴＝＝.∴＝＋＝＋，∴E，F，G，H四点共面．
8.解　连接AC，AD′，AC′.
(1)＝(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)＝(＋2＋)＝(a＋2b＋c)．
(3)＝(＋)＝[(＋＋)＋(＋)]＝(＋2＋2)＝a＋b＋c.
(4)＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
9.　B 解析　①对空间任意向量c，都有c与a、b共面，则必有a与b共线，∴①错；②∵、、不能构成空间的基底，∴、、必共面，故存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，∴O、A、B、C四点共面，∴②正确．
10.　D解析　①(＋)＋＝＋＝；
②(＋)＋＝＋＝；
③(＋)＋＝＋＝；
④(＋)＋＝＋＝.
11.　A 解析　由定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况．空间中任两个向量都是共面的，故D错．
12.　D 解析　最多的情况是a，b，c，d中任两个不共线，任三个不共面，从中任选三个都可做一组基底，共4个．
13.　0 解析　∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0.又λ＋m－n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.
14.　a＋b＋c
15.解析　(1)＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
＝＋＝＋＋＝＋－＝b＋c－a.
(2)＝＋＝－＋＝－(＋)＋(＋)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)
16.解析　(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋又＝x＋y＋z
∴x＝1，y＝－1，z＝1.
∵＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
又＝x＋y＋z.∴x＝，y＝，z＝1.
17.解析　(1)证明：因为＝＋＋＝＋＋＋
＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋，
所以A、E、C1、F四点共面．
(2)解：因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝.