2.4.2 圆的一般方程（分层练习）（Word版含解析）

2.4.2 圆的一般方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径长分别为(　　)
A．(4，－6)，16 B．(2，－3)，4
C．(－2，3)，4 D．(2，－3)，16
2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在(　　)
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.无法确定
3.若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)
A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
4.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
5.若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是(　　)
A.m>0 B.m<
C.06.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为(　　)
A.2 B. C.1 D.
7．已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________．
8.在平面直角坐标系中，求经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程.
能 力 练
综合应用 核心素养
9．已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 B．直线 C．线段 D．圆
10．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是(　　)
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B．(x＋4)2＋(y－1)2＝5
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D．(x－2)2＋(y＋3)2＝5
11.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x＋3)2＋y2＝4 B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1 D.(2x＋3)2＋4y2＝1
12.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
13.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________.
14.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________.
15.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
16．已知D(8，0)，点P在圆x2＋y2＝4上运动时，线段 PD的中点M的轨迹方程是________．
17.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.
18．已知P是圆x2＋y2＝16上的动点，A(12，0)，M为PA的中点，求点M的轨迹方程．
【参考答案】
1. C 解析　由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圆心为(－2，3)，半径长为4.
2.C
3.B 解析　当a≠0时，方程为2＋2＝，
由于a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0恒成立，
∴a≠0时方程表示圆.
当a＝0时，易知方程为x＋y＝0，表示直线.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞).
4. D 解析　原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b).
5.　C 解析　x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为2＋2＝－m，则－m>0，解得m<.
因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，
即m>0，所以06.　D 解析　因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.
7. (－∞，－13) 解析　因为A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，所以1＋4＋2＋6＋m＜0，解得m＜－13.又由4＋9－4m＞0，得m＜.
综上，m＜－13.
8. 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，即圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
9. D 解析　∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1，0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，1为半径的圆．故选D.
10. C 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1)．
设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，则
解得故C′(－2，3)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
11.　C 解析　设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴
∴x1＝2x－3，y1＝2y.又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
12.　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
又r2>0，即－a2－3a>0，解得－413.　 解析　由(－2)2＋12－4k>0得k<.
14.　x－y＋1＝0 解析　易知圆心P的坐标为(－1,2).
∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，∴直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，∴直线AB的斜率k＝1，
故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
15.　－2 解析　由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心，则－1＋＋2＝0，得a＝－2.
16. (x－4)2＋y2＝1 解析　设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x＝，y＝.即x0＝2x－8，y0＝2y. 因为点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4.
即(2x－8)2＋(2y)2＝4，即(x－4)2＋y2＝1，这就是动点M的轨迹方程．
17.解　∵圆心在直线2x－y－3＝0上，∴可设圆心坐标为(a,2a－3)，半径为r(r>0)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－2a＋3)2＝r2.
把点A(5,2)和点B(3，－2)的坐标代入方程，
得(5－a)2＋(2－2a＋3)2＝r2，①
(3－a)2＋(－2－2a＋3)2＝r2，②
由①②可得a＝2，r2＝10.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10，
即x2＋y2－4x－2y＝5.
18. 解　设M(x，y)，
∵A(12，0)，M为PA的中点，
∴P(2x－12，2y)．
∵P为圆x2＋y2＝16上的动点，
∴(2x－12)2＋4y2＝16，即(x－6)2＋y2＝4.
故所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝4.