2.5.1 直线与圆的位置关系（分层练习）（Word版含解析）

2.5.1 直线与圆的位置关系
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心 D．相离
2．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)
A．2x－y＋＝0或2x－y－＝0
B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
3．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．0°＜α≤30° B．0°＜α≤60°
C．0°≤α≤30° D．0°≤α≤60°
4．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
5．设圆C：x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切，则圆C的半径为________．
6．若直线y＝kx与圆x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切点在第四象限，则k＝________．
7．过点A(－1，4)作圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
8．已知曲线C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，曲线C表示圆？
(2)若直线l：y＝x－m与圆C相切，求m的值．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1，0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n等于(　　)
A．10－2 B．5－ C．10－3 D．5－　
11．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0关于直线3x－ay－11＝0对称，则圆C中以为中点的弦长为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
12．(多选题)给出下列条件，能使直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交的条件是(　　)
A．2a2＋2b2＝c2 B．3a2＋3b2＝c2
C．a2＋b2＝c2 D．4a2＋4b2＝c2
13．直线y＝x＋2被圆M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦长为________．
14．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则a＝________．
15．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．
16．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程．
【参考答案】
1. B　∵圆心到直线的距离d＝＝＜1，且直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴直线与圆相交但直线不过圆心．
D 解析　依题意可设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，则圆心(0，0)到直线2x＋y＋c＝0的距离为＝，解得c＝±5.故所求切线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
D　[易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.
因为直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0,0)到直线l的距离≤1，即k2－k≤0，
解得0≤k≤，故直线l的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤60°.]
4. B 解析　由条件，知x－y＝0与x－y－4＝0都与圆相切，且平行，所以圆C的圆心C在直线x－y－2＝0上．由得圆心C(1，－1)．又因为两平行线间距离d＝＝2，所以所求圆的半径长r＝，故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
5. 2　[∵圆C：x2＋y2―2x―2y―m＝0与直线y＝x―4相切，圆C的圆心C(1,1)，
∴圆C的半径r＝＝2.]
6. － 解析　圆x2＋y2－6x＋8＝0，即(x－3)2＋y2＝1，其圆心为(3，0)、半径等于1.
由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得＝1，求得k＝－.
7. 解　设l的方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋4＝0，
∴d＝＝1，∴4k2＋3k＝0，∴k＝0或k＝－，
∴切线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0.
8. 解　(1)由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，
由5－m>0时，得m<5，∴当m<5时，曲线C表示圆；
(2)圆C的圆心坐标为(－1，－2)，半径为.
∵直线l：y＝x－m与圆C相切，
∴＝，解得：m＝±3，满足m<5.
∴m＝±3.
C 解析　圆心为(－1，－2)，半径r＝2，从而圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．
A 解析　圆的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
所以圆心为(2，－3)，半径长为5.
因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1，0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.
当(－1，0)为弦的中点时，弦长最小，此时弦心距d＝＝3，
所以最小弦长为2＝2＝2，所以m－n＝10－2.
D　[依题意可知直线过圆心(1，－2)，即3＋2a－11＝0，a＝4.故＝(1，－1)．圆方程配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝5，(1，－1)与圆心距离为1，故弦长为2＝4.]
12. ABC　[由直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交得＜2，即c2＜4(a2＋b2)，选项A、B、C均满足c2＜4(a2＋b2)，而D项是相切的条件，故应选ABC.]
13. 2 解析　x2＋y2－4x－4y－1＝0可变为(x－2)2＋(y－2)2＝9，故圆心坐标为(2，2)，半径为3.圆心到直线x－y＋2＝0的距离是＝，故弦长的一半是＝，所以弦长为2.
14. 0 解析　圆心到直线的距离d＝＝＝1，解得a＝0.
15. 解析　切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
16. (1)证明　因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，所以解得
即l恒过定点A(3，1)．
因为圆心为C(1，2)，所以|AC|＝<5(半径)，所以点A在圆C内，从而直线l与圆C恒交于两点．
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.