2.1.1 倾斜角与斜率（分层练习）（Word版含解析）

2.1.1 倾斜角与斜率
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．下列说法正确的是 (　　)
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
2．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
3．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
4．经过两点A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是 (　　)
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．m＞1或m＜－1
5．如果直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1 005，b)在l上，那么b的值为________．
6．若过P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为0°，则a＝________.
7．已知直线l的斜率的绝对值为，则直线的倾斜角为________．
8．已知直线l上两点A(－2,3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝时，b的值．
9.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
能 力 练
综合应用 核心素养
10．在平面直角坐标系中，正△ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 (　　)
A．－2 B．0
C. D．2
11．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]
12.设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
13.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(　　)
A．k1C．k314.直线l过点A(1,2)，且不过第四象限，则直线l的斜率的取值范围是________．
15．直线l经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点．则直线l的倾斜角的取值范围为____________．
16．已知三点A(1－a，－5)，B(a，2a)，C(0，－a)共线，则a＝________．
17.已知点A(1,2)，在坐标轴上求一点P，使直线PA的倾斜角为60°.
18．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
【参考答案】
1. D 解析：选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．
C 解析：由倾斜角的定义知直线AB的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．
3.　C 解析　由题意，得即解得a＝4，b＝－3.
4. A 解析：∵直线l的倾斜角为锐角，∴斜率k＝＞0，∴m＜1.
5. 2011 解析：∵直线l过(－1，－1)，(2，5)，由直线的两点式方＝，即＝，
∴y＝2x＋1.又点(1 005，b)在l上，∴b＝2×1 005＋1＝2 011.
6.　1 解析　由题意得1＋a＝2a，∴a＝1.
7. 60°或120° 解析：由题意知斜率k＝或k＝－，所以倾斜角的大小为60°或120°.
8. 解　由斜率公式得kAB＝＝－1.∴C在l上，kAC＝－1，即＝－1.∴a＋b－1＝0.
当a＝时，b＝1－a＝.
9. 解　直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°. kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，kAC＝，kBD＝－.
10. B 解析：如图，易如kAB＝，kAC＝－，∴kAB＋kAC＝0.
11.　C 解析　倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴．
12.　D 解析　因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
13. D 解析　由图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大．∴k114. [0,2] 解析　如图，当直线l在l1位置时，k＝tan 0°＝0；当直线l在l2位置时，k＝＝2.故直线l的斜率的取值范围是[0,2]．
15. [0°，45°]∪(90°，180°) 解析　直线l的斜率k＝＝1－m2≤1.若l的倾斜角为α，则tan α≤1.
又∵α∈[0°，180°)，当0≤tan α≤1时，0°≤α≤45°；当tan<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°]∪(90°，180°)．
16. 2 解析：①当过A，B，C三点的直线斜率不存在时，即1－a＝a＝0，无解．
②当过A，B，C三点的直线斜率存在时，即kAB＝＝kBC＝，即＝3，解得a＝2.
综上可知当A，B，C三点共线时a的值为2.
17.解　①当点P在x轴上时，设点P(a,0)，
∵A(1,2)，∴k＝＝.又∵直线PA的倾斜角为60°，∴tan 60°＝.解得a＝1－.
∴点P的坐标为.
②当点P在y轴上时，设点P(0，b)，同理可得b＝2－，∴点P的坐标为(0,2－)．
18.解　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kAC＝＝.
(2)如图所示．
kBC＝＝.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
19.解　如图所示，(1)直线l过点A(3,0)时，
即为直线MA，倾斜角α1为最小值．
∵tan α1＝＝1，∴α1＝45°.
(2)直线l过点B(－4,1)时，即为直线MB，倾斜角α2为最大值，
∵tan α2＝＝－1，∴α2＝135°.
所以直线l倾斜角α的取值范围是45°≤α≤135°.
当α＝90°时，直线l的斜率不存在；
当45°≤α<90°时，直线l的斜率k＝tan α≥1；
当90°<α≤135°时，直线l的斜率k＝tan α≤－1.
所以直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．