华师大版八年级数学上册第14章勾股定理单元测试卷(word解析版）
文档属性
| 名称 | 华师大版八年级数学上册第14章勾股定理单元测试卷(word解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 501.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-11 15:54:40 | ||
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文档简介
华师大版八年级数学上册单元测试卷
第14章 勾 股 定 理
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．直角△ABC的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是 （ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为 （ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
3．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为 （ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
4．如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是 （ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．
5．下列四组数中，是勾股数的是 （ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．32，42，52
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝ （ ）
A．20° B．35° C．65° D．75°
7．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是 （ ）
A．2 B．2 C．5 D．7
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝ （ ）
A．183 B．87 C．119 D．81
二．填空题（每题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则BC＝ ．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝ ．
11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有 个．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
19．疫情期间，老师出了一道题让学生交流，请你帮他们完成解答过程．
如图，在△EFG中，EF＝15，FG＝14，EG＝13，求△EFG的面积．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
22．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
23．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形ADCG和矩形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝1米，AD＝15米．
（1）求立柱AB的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．
24．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．直角△ABC的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是 （ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
解：由勾股定理得，另一条直角边为，
∴此三角形的面积是＝6，
故选：D．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
3．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
4．如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝，
根据题意可得，AC＝AD，
点D所对应的实数是．
故选：A．
5．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．32，42，52
解：A．62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B．0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C．不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D．（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（ ）
A．20° B．35° C．65° D．75°
解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝65°，
故选：C．
7．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A．2 B．2 C．5 D．7
解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，
∴任意两个格点间的距离不可能是，
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（ ）
A．183 B．87 C．119 D．81
解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S4＝135﹣48＝87，
故选：B．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则BC＝ 7 ．
解：由勾股定理得，BC＝＝＝7，
故答案为：7．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝ 6 ．
解：∵c+b＝18，c﹣b＝2，
∴c＝10，b＝8，
由勾股定理得，a＝＝＝6，
故答案为：6．
11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ 2 ．
解法一：∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∵AD＝5，
∴AB＝＝2，
∵AB＝CE，
∴CE＝2，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴DE＝＝5，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，
∴∠A＝∠CED＝90°，
∵AB＝CE，BD＝CD，
∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），
∴AD＝DE＝5，
∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 19 ．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
则AB＝＝＝5，
∴S阴影部分＝AB2﹣AC BC＝52﹣×3×4＝19，
故答案为：19．
13．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有 3 个．
解：如图：
一共可以画9个三角形，分别是：
△AEB，△ADB，△AEC，△ADC，△BEC，△BDC，△BED，△AED，△EDC，
∵∠EBA＝∠EBC＝90°，
∴△ABE，△BCE是直角三角形，
由题意得：
DE2＝22+12＝5，CD2＝22+12＝5，EC2＝12+32＝10，
∴DE2+CD2＝CE2，
∴△CDE是直角三角形，
∴以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有3个，
故答案为：3．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ 34 ．
解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，
在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，
∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
故答案为：34．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝1.2米，BE＝CD＝1.8米，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9米，AD2＝AE2+DE2，
∴AD＝（米），
故答案为：1.5．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 5或20或或 时，△BCP为等腰三角形．
解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，
∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，
∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PM＝BP，
∵AC BC＝AB CM，
∴CM＝＝＝，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴BP＝2BM＝
∴AP＝13﹣＝，
∴t＝12+＝；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PB＝AB＝，
∴t＝12+＝；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．
解：∵BC：AB＝3：5，AB＝20cm，
∴BC＝12cm，
∵∠C＝90°，
∴AC＝＝＝16（cm），
答：边AC的长度为16cm．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
解：∵AC＝10，CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得，
BD＝＝＝6，
在Rt△BDC中，BC＝＝．
19．疫情期间，老师出了一道题让学生交流，请你帮他们完成解答过程．
如图，在△EFG中，EF＝15，FG＝14，EG＝13，求△EFG的面积．
解：如图，过点E作EH⊥FG于点H，
在Rt△EFH和Rt△EGH中，由勾股定理可得：
EH2＝EF2﹣FH2，EH2＝EG2﹣GH2，
∴EG2﹣GH2＝EF2﹣FH2，
设FH＝x，则GH＝14﹣x，
∵EF＝15，FG＝14，EG＝13，
∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，
解得：x＝9，
∴EH＝＝12，
∴S△EFG＝×FG EH＝×14×12＝84，
∴△EFG的面积为84．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
解：依题意可知：∠BAC＝90°．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝×16＝8（海里），BC＝17海里，
∴AB＝＝＝15（海里），
∴乙船的航速为15÷＝30（海里/时）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
22．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
解：∵OA＝9m，OB＝12m，
∴AB＝＝＝12（m），
∴旗杆的长＝OA+AB＝9+15＝24（m）．
设OC＝x，则CD＝24﹣x，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，即62+x2＝（24﹣x）2，解得x＝（m）．
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
23．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形ADCG和矩形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝1米，AD＝15米．
（1）求立柱AB的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．
解：（1）由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，
即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得：x＝8，
∴BG＝8米，
∴AB＝BG+GA＝9（米），
∴AB的长度长为9米；
（2）由题意得：CF＝DE＝3米，
∴GF＝GC+CF＝18（米），
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．
24．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
证明：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，
在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，
∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．
第14章 勾 股 定 理
时间：60分钟 总分：120分
一、选择题 （每题3分，共24分）
1．直角△ABC的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是 （ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为 （ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
3．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为 （ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
4．如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是 （ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．
5．下列四组数中，是勾股数的是 （ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．32，42，52
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝ （ ）
A．20° B．35° C．65° D．75°
7．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是 （ ）
A．2 B．2 C．5 D．7
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝ （ ）
A．183 B．87 C．119 D．81
二．填空题（每题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则BC＝ ．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝ ．
11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 ．
13．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有 个．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 米．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
19．疫情期间，老师出了一道题让学生交流，请你帮他们完成解答过程．
如图，在△EFG中，EF＝15，FG＝14，EG＝13，求△EFG的面积．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
22．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
23．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形ADCG和矩形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝1米，AD＝15米．
（1）求立柱AB的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．
24．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共24分）
1．直角△ABC的斜边为5，一条直角边为4，则此三角形的面积是 （ ）
A．10 B．20 C．12 D．6
解：由勾股定理得，另一条直角边为，
∴此三角形的面积是＝6，
故选：D．
2．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ）
A．2m B．3m C．3.5m D．4m
解：由勾股定理得，AB＝＝10（m），
∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝6+8﹣10＝4（m），
故选：D．
3．如图，一棵树（树干与地面垂直）高3.6米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为2.4米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为（ ）
A．2.4米 B．2.6米 C．0.6米 D．1米
解：∵△ABC是直角三角形，AB+BC＝3.6m，AC＝2.4m，
∴BC2＝AB2+AC2，
即（3.6﹣AB）2＝AB2+2.42，
解得：AB＝1，
故选：D．
4．如图，数轴上的点A对应的实数是﹣1，点B对应的实数是1，过点B作BC⊥AB．使BC＝1，连接AC，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D对应的实数是（ ）
A．﹣1 B．+1 C． D．
解：在Rt△ABC中，
AC＝＝＝，
根据题意可得，AC＝AD，
点D所对应的实数是．
故选：A．
5．下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A．6，8，10 B．0.3，0.4，0.5
C．，， D．32，42，52
解：A．62+82＝102能构成勾股数，故符合题意；
B．0.3，0.4，0.5不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
C．不是整数，不能构成勾股数，故不符合题意；
D．（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成勾股数，故不符合题意．
故选：A．
6．在△ABC中，BC2﹣AC2＝AB2．若∠B＝25°，则∠C＝（ ）
A．20° B．35° C．65° D．75°
解：∵BC2﹣AC2＝AB2，
∴BC2＝AC2+AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∵∠B＝25°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝65°，
故选：C．
7．如图，在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（ ）
A．2 B．2 C．5 D．7
解：∵在3×3的正方形网格中，若小正方形的边长是1，
∴任意两个格点间的距离有：1，2，3，，＝2，＝，＝3，＝，＝，
∴任意两个格点间的距离不可能是，
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4．若S1＝48，S2+S3＝135，则S4＝（ ）
A．183 B．87 C．119 D．81
解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
如图，连接BD，
在直角△ABD和△BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S4＝135﹣48＝87，
故选：B．
二．填空题（每题3分，共24分）
9．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝25，AC＝24，则BC＝ 7 ．
解：由勾股定理得，BC＝＝＝7，
故答案为：7．
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°；若c+b＝18，c﹣b＝2，则a＝ 6 ．
解：∵c+b＝18，c﹣b＝2，
∴c＝10，b＝8，
由勾股定理得，a＝＝＝6，
故答案为：6．
11．如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝ 2 ．
解法一：∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∵AB⊥AD，
∴∠A＝90°，
∵AD＝5，
∴AB＝＝2，
∵AB＝CE，
∴CE＝2，
∵CE⊥BD，
∴∠CED＝90°，
∴DE＝＝5，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
解法二：∵AB⊥AD，CE⊥BD，
∴∠A＝∠CED＝90°，
∵AB＝CE，BD＝CD，
∴Rt△ABD≌Rt△ECD（HL），
∴AD＝DE＝5，
∵BD＝CD，CD＝7，
∴BD＝7，
∴BE＝BD﹣DE＝2．
故答案为：2．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为 19 ．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
则AB＝＝＝5，
∴S阴影部分＝AB2﹣AC BC＝52﹣×3×4＝19，
故答案为：19．
13．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有 3 个．
解：如图：
一共可以画9个三角形，分别是：
△AEB，△ADB，△AEC，△ADC，△BEC，△BDC，△BED，△AED，△EDC，
∵∠EBA＝∠EBC＝90°，
∴△ABE，△BCE是直角三角形，
由题意得：
DE2＝22+12＝5，CD2＝22+12＝5，EC2＝12+32＝10，
∴DE2+CD2＝CE2，
∴△CDE是直角三角形，
∴以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有3个，
故答案为：3．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若AD＝3，BC＝5，则AB2+CD2＝ 34 ．
解：∵四边形ABCD为“垂美”四边形，
∴BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝90°，
在Rt△AED中，AE2+DE2＝AD2＝9，
在Rt△BEC中，BE2+CE2＝BC2＝25，
∴AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2，
在Rt△CED中，CE2+DE2＝CD2，
∴AB2+CD2＝AE2+DE2+BE2+CE2＝9+25＝34，
故答案为：34．
15．如图，某自动感应门的正上方A处装有一个感应器，离地高度AB＝2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．小张身高1.8米（CD＝1.8米），当他正对着门缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝ 1.5 米．
解：过点D作DE⊥AB于E，则DE＝BC＝1.2米，BE＝CD＝1.8米，
在Rt△ADE中，AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9米，AD2＝AE2+DE2，
∴AD＝（米），
故答案为：1.5．
16．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5．若动点P从点C开始以每秒1个单位的速度，按C→A→B的路径运动，设运动的时间为t秒，当t为 5或20或或 时，△BCP为等腰三角形．
解：∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝13，
当点P在AC上时，CP＝CB＝5，
∴t＝5；
当点P在AB上时，分三种情况：
①当BP＝BC＝5，如图1所示：
则AP＝13﹣5＝8，
∴t＝12+8＝20；
②当CP＝CB＝5时，
过点C作CM⊥AB于M，如图2所示：
则BM＝PM＝BP，
∵AC BC＝AB CM，
∴CM＝＝＝，
在Rt△BCM中，由勾股定理得：BM＝＝＝，
∴BP＝2BM＝
∴AP＝13﹣＝，
∴t＝12+＝；
③当PC＝PB时，如图3所示：
则∠B＝∠BCP，
∵∠B+∠A＝90°，∠BCP+∠ACP＝90°，
∴∠A＝∠ACP，
∴AP＝PC，
∴AP＝PB＝AB＝，
∴t＝12+＝；
综上所述，当t＝5或20或或时，△BCP为等腰三角形．
三．解答题（每题8分，共72分）
17．在△ABC中，∠C＝90°，BC：AB＝3：5且AB＝20cm，求边AC的长度．
解：∵BC：AB＝3：5，AB＝20cm，
∴BC＝12cm，
∵∠C＝90°，
∴AC＝＝＝16（cm），
答：边AC的长度为16cm．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BD⊥AC于D，CD＝2，求BC的长．
解：∵AC＝10，CD＝2，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣2＝8，
在Rt△ADB中，由勾股定理得，
BD＝＝＝6，
在Rt△BDC中，BC＝＝．
19．疫情期间，老师出了一道题让学生交流，请你帮他们完成解答过程．
如图，在△EFG中，EF＝15，FG＝14，EG＝13，求△EFG的面积．
解：如图，过点E作EH⊥FG于点H，
在Rt△EFH和Rt△EGH中，由勾股定理可得：
EH2＝EF2﹣FH2，EH2＝EG2﹣GH2，
∴EG2﹣GH2＝EF2﹣FH2，
设FH＝x，则GH＝14﹣x，
∵EF＝15，FG＝14，EG＝13，
∴132﹣（14﹣x）2＝152﹣x2，
解得：x＝9，
∴EH＝＝12，
∴S△EFG＝×FG EH＝×14×12＝84，
∴△EFG的面积为84．
20．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若CB两岛相距17海里，问乙船的航速是多少？
解：依题意可知：∠BAC＝90°．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝×16＝8（海里），BC＝17海里，
∴AB＝＝＝15（海里），
∴乙船的航速为15÷＝30（海里/时）．
21．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．
（1）求BC的长；
（2）求证：△BCD是直角三角形．
（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5；
（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，
∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，
∴△BCD是直角三角形．
22．如图，一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旗杆底部6m处，问旗杆第二次是在离地面多少米处断裂的？
解：∵OA＝9m，OB＝12m，
∴AB＝＝＝12（m），
∴旗杆的长＝OA+AB＝9+15＝24（m）．
设OC＝x，则CD＝24﹣x，
在Rt△OCD中，OD2+OC2＝CD2，即62+x2＝（24﹣x）2，解得x＝（m）．
答：旗杆第二次是在离地面米处断裂的．
23．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，矩形ADCG和矩形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知CD＝1米，AD＝15米．
（1）求立柱AB的长度；
（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．
解：（1）由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，
设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，
在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，
即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，
解得：x＝8，
∴BG＝8米，
∴AB＝BG+GA＝9（米），
∴AB的长度长为9米；
（2）由题意得：CF＝DE＝3米，
∴GF＝GC+CF＝18（米），
在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．
24．如图，在△ABC中，AE＝3，BE＝5，AC＝4，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E．求证：△ABC为直角三角形．
证明：连接CE，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝BE＝5，
在△AEC中，AE＝3，EC＝5，AC＝4，
∵AC2+AE2＝42+32＝25，EC2＝52＝25，
∴AC2+AE2＝EC2，
∴△AEC是直角三角形，
∴∠A＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．
（1）判断△BCF的形状，并说明理由；
（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．
（1）解：△BCF为等腰直角三角形．
理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴AD垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴∠BCF＝∠CBF＝45°，
∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴△BCF为等腰直角三角形；
（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，
在△CHB和△AEF中，
，
∴△CHB≌△AEF（SAS），
∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，
∴∠CEF＝∠CHE，
∴CE＝CH，
∵BD＝CD，FD⊥BC，
∴CF＝BF，
∴∠CFD＝∠BFD＝45°，
∴∠CFB＝90°，
∴EF＝FH，
Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，
∴BF2+EF2＝AE2．