3.3.2 抛物线的简单几何性质（分层练习）（Word含答案）

3.3.2 抛物线的简单几何性质
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
2.设AB为过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为(　　)
A. B.p C.2p D.无法确定
3．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　)
A． B．
C． D．
4.过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝(　　)
A.6 B.8 C.9 D.10
5.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P在抛物线上，若|PF|＝5，则点P的坐标为(　　)
A.(3，2) B.(3，－2)
C.(3，2)或(3，－2) D.(－3，2)或(－3，－2)
6．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
7.已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)若点B(0,2)，求过点B且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
能 力 练
综合应用 核心素养
9．(多选题)经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列说法中正确的是(　　)
A．当AB与x轴垂直时，|AB|最小 B．＋＝
C．以弦AB为直径的圆与直线x＝－相离 D．y1y2＝－p2
10．抛物线y2＝2px过点A(2,4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝(　　)
A．1∶4 B．1∶2 C．2∶5 D．3∶8
11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)
A．－ B． C．± D．
12．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.
13．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
14．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．
15．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为________；若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，则k＝________.
16.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________.
17.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6，0)，求抛物线的方程.
18.如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值.
【参考答案】
1.B　[点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
2.C 解析　当AB垂直于对称轴时，|AB|取最小值，此时AB为抛物线的通径，长度等于2p.
3.B　[设点P的坐标为(a2，a)，依题意可知抛物线的准线方程为x＝－，则a2＋＝，解得a＝±，故点P的坐标为.]
4.B 解析　因为直线AB过焦点F(1，0)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
5. C 解析　设点P的坐标为(x，y)，∵|PF|＝5，∴x－(－2)＝5，∴x＝3.
把x＝3代入方程y2＝8x得y2＝24，∴y＝±2.∴点P的坐标为(3，±2).故选C.
6.B　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，
即y＝－2x＋2.由得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.
∴|AB|＝＝＝＝2.]
7.解析　圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2，0)间的距离，即＝.
8. [解]　(1)由抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(2，－4)，
可得16＝4p，解得p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x，其准线方程为x＝－2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，x＝0符合题意．
②当直线l的斜率为0时，y＝2符合题意．
③当直线l的斜率存在且不为0时，
设直线l的方程为y＝kx＋2.由得ky2－8y＋16＝0.由Δ＝64－64k＝0，得k＝1，
故直线l的方程为y＝x＋2，即x－y＋2＝0.综上直线l的方程为x＝0或y＝2或x－y＋2＝0.
9.ABD　[过抛物线焦点的直线与抛物线相交，其主要结论有：当AB与x轴垂直时，|AB|最小，∴A正确；＋＝，∴B正确；y1y2＝－p2，∴D正确；以AB为直径的圆与准线x＝－相切，∴C错误，故选ABD.]
10.C　[将点A(2,4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x, 焦点F(2,0)，已知，B(8，－8) ，
∴＝＝＝.]
11.A　[将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A，由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率为＝－，故选A.]
12.6　[因为抛物线x2＝2py的准线y＝－和双曲线－＝1相交交点横坐标为x＝±，∴由等边三角形得2×＝p，解得p＝6.]
13.(3,2)　[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，＝3，∴＝＝＝2.∴所求点的坐标为(3,2)．]
14.　[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1，
即直线方程为x－y＋1＝0，
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]
15.y2＝8x　2　[由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6.所以p＝4,所以抛物线C的方程为y2＝8x.由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，解得k>－1且k≠0.又＝＝2，解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.]
16.－解析　∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴p＝4.
∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2，0).又A(－2，3)，
根据斜率公式得kAF＝＝－.
17.解　设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，则其准线为x＝－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵|AF|＋|BF|＝8，∴x1＋＋x2＋＝8，即x1＋x2＝8－p.
∵Q(6，0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，
即＝，
又y＝2px1，y＝2px2，
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.
∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.
故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.
从而抛物线方程为y2＝8x.
18.证明　设kAB＝k(k≠0)，
∵直线AB，AC的倾斜角互补，∴kAC＝－k(k≠0)，
∴直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.由方程组
消去y后，整理得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
∵A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，∴4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，∴kBC＝＝
＝＝＝－.
所以直线BC的斜率为定值.