3.1.2 椭圆的简单几何性质（分层练习）（Word含答案）

3.1.2 椭圆的简单几何性质
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
2．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝(　　)
A． B． C．2 D．4
3．(多选)已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)
A．a2＝25 B．b2＝25 C．a2＝9 D．b2＝9
4．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
5．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．
C．(0,3)∪ D．(0,2)
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的标准方程为________．
8．过椭圆＋＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．
9．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
能 力 练
综合应用 核心素养
10．(多选题)某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆(地球看作是球体)，测得近地点A距离地面m km，远地点B距离地面n km，地球半径为R km，关于这个椭圆有下列说法，正确的有(　　)
A．长轴长为m＋n＋2R B．焦距为n－m
C．短轴长为 D．离心率e＝
11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为(　　)
A． B． C． D．
12．已知椭圆的短半轴长为1，离心率013．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．若点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围是________．
14．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________．
15．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．
16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆C的方程为_____________．
17．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心率．
18．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．
【参考答案】
1.C解析　∵a2＝4＋22＝8，∴a＝2，∴e＝＝＝.
2.D　[将椭圆方程化为标准形式为x2＋＝1，所以长轴长为2，短轴长为2，
由题意得2＝2×2，解得m＝4.]
3.AD解析　椭圆＋＝1的长轴长为10，椭圆＋＝1的短轴长为6，
由题意可知椭圆＋＝1的焦点在x轴上，即有a＝5，b＝3.
4.　A解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，依题意得c＝2，a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，
解得a＝6，b＝4.则椭圆的方程为＋＝1.
5.C　[当0＜k＜4时，e＝＝∈，即＜＜1 1＜4－k＜4，即0＜k＜3.
当k＞4时，e＝＝∈，即＜＜1 ＜＜1 ＜1－＜1 0＜＜ k＞.
综上，实数k的取值范围为(0,3)∪.]
6.　[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7.＋＝1　[∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b2.
设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1.解得a2＝45.∴椭圆的标准方程为＋＝1.]
8. 4,3　[过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入＋＝1，得＋＝1，解得y2＝，即y＝±，所以最短弦的长为2×＝3.]
9.解　椭圆方程可化为＋＝1(m>0)，
∵m－＝>0，∴m>.
∴a2＝m，b2＝，c＝＝.
由e＝，得＝，∴m＝1.
∴椭圆的标准方程为x2＋＝1.
∴a＝1，b＝，c＝.
∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；
两焦点坐标分别为F1，F2；
四个顶点坐标分别为
A1(－1,0)，A2(1,0)，B1，B2.
10.ABD　[由题意，得n＋R＝a＋c，m＋R＝a－c，可解得2c＝n－m，a＝，2a＝m＋n＋2R.∴2b＝2＝2，e＝，故ABD正确，C不正确．]
11.D　[在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为012.　(2,4] 解析　∵e＝，b＝1,0则113.＋＝1　[0,12]　[因为椭圆的上顶点到焦点的距离为2，所以a＝2.
因为离心率e＝，所以c＝1，b＝＝，则椭圆的方程为＋＝1，
所以点A的坐标为(－2,0)，点F的坐标为(－1,0)．
设P(x，y)，则·＝(x＋2，y)·(x＋1，y)＝x2＋3x＋2＋y2.
由椭圆的方程，得y2＝3－x2，所以·＝x2＋3x－x2＋5＝(x＋6)2－4.
因为x∈[－2,2]，所以·∈[0,12]．]
14.[1,2]　[因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
15.　 解析　如图，AB＝2c＝4，
∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.
16.　＋＝1 解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝，知＝，故＝.由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a＝16，故a＝4，∴b2＝8∴椭圆C的方程为＋＝1.
17.[解]　根据椭圆的对称性，不妨设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为F1(－c,0)，F2(c,0)．
依题意设点A的坐标为，则点B的坐标为，所以|AB|＝.
由△ABF2是正三角形得2c＝×，即b2＝2ac.
又因为b2＝a2－c2，所以a2－c2－2ac＝0，两边同除以a2，得＋2·－＝0，解得e＝＝(负值舍去)．
18. [解]　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k＞0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.
由椭圆定义可得，|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得，|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)．
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.
因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，
所以椭圆E的离心率e＝＝.