3.1.2直线与椭圆的位置关系及其应用（分层练习）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 3.1.2直线与椭圆的位置关系及其应用（分层练习）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 49.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-09 17:21:30 | ||
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文档简介
3.1.2 直线与椭圆的位置关系及其应用
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－ C．± D．±
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B．
C． D．
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为________．
6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________.
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.
能 力 练
综合应用 核心素养
9．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
10．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝1外 B．必在圆x2＋y2＝上 C．必在圆x2＋y2＝2内 D．必在圆x2＋y2＝上
12．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B. C. D.
13．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
14．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是( )
A. B．2 C. D.
15．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
16．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
18．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．
【参考答案】
1. C 解析 联立方程可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2.B [由消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，则解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
3. B解析 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，所以＝－，
所以k＝＝－.故选B.
4.B [易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]
5. ±解析 根据椭圆的离心率为，得＝.由x0＝b，得y＝b2＝，
所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.
6. [由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
7. [由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.]
8.解 (1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1，由整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式|AB|＝·
＝·＝.
9.C [如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有
|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°
所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.
又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.]
10. D解析 S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
11.ABC [e＝ ＝ c＝，＝ ＝ ＝ b＝a.
∴ax2＋bx－c＝0 ax2＋ax－＝0 x2＋x－＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝.
∵1＜＜2，∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC.]
12. A解析 联立方程组可得即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，
所以kOP＝＝＝.
13.C [设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]
14. D解析 由题意得椭圆方程为＋y2＝1，联立化简得3x2－4x＝0，
得x＝0或x＝，代入直线方程得或
不妨设A(0,1)，B，所以|AB|＝＝.
15. 解析由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，联立方程得解得或不防设A(0，－2)，B，所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
16.[解] (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.所以y1＝1，y2＝－.所以|AB|＝＝.
17.[解] (1)由题意得解得c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
18.[解] (1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，则直线BM的方程为：y＝－x－1，
由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得：xN＝，yN＝kxN－1，
∴|BN|＝＝＝|xN|
∴|BN|＝|xN－xB|＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)
∴|BM|＝，
在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，即·＝·，
整理得3k2－2|k|＋1＝0，解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为.
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )
A. B．－ C．± D．±
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
3．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. B．－ C．2 D．－2
4．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为( )
A． B．
C． D．
5．椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，若直线y＝kx与椭圆的一个交点的横坐标x0＝b，则k的值为________．
6．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
7．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右两个焦点，过F1作斜率为1的直线，交C于A、B两点，则|AF2|＋|BF2|＝________.
8．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．
(1)求△ABF2的周长；
(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.
能 力 练
综合应用 核心素养
9．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
10．已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为( )
A．6 B．15 C．20 D．12
11．(多选题)设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝1外 B．必在圆x2＋y2＝上 C．必在圆x2＋y2＝2内 D．必在圆x2＋y2＝上
12．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B. C. D.
13．在椭圆＋＝1内，过点M(1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为( )
A．9x－16y＋7＝0 B．16x＋9y－25＝0
C．9x＋16y－25＝0 D．16x－9y－7＝0
14．已知直线y＝－x＋1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是( )
A. B．2 C. D.
15．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
16．设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点．
(1)求实数b的取值范围；
(2)当b＝1时，求|AB|.
17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求实数k的值．
18．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B(O为坐标原点)三点的圆的圆心坐标为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标．
【参考答案】
1. C 解析 联立方程可得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，Δ＝144k2－24(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
2.B [由消去y整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，则解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
3. B解析 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
两式相减，得＋＝0，所以＝－，
所以k＝＝－.故选B.
4.B [易求得直线AB的方程为y＝(x＋)．由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
由弦长公式，得|AB|＝·|x1－x2|＝·＝.]
5. ±解析 根据椭圆的离心率为，得＝.由x0＝b，得y＝b2＝，
所以y0＝±，∴k＝＝±＝±.
6. [由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
7. [由＋＝1知，焦点F1(－1,0)，所以直线l：y＝x＋1，代入＋＝1得3x2＋4(x＋1)2＝12，即7x2＋8x－8＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，故|AB|＝|x1－x2|＝·＝.
由定义有，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a，所以|AF2|＋|BF2|＝4×2－＝.]
8.解 (1)椭圆＋＝1，a＝2，b＝，c＝1，
由椭圆的定义，得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4，|BF1|＋|BF2|＝2a＝4，又|AF1|＋|BF1|＝|AB|，
∴△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8.
(2)由(1)可得F1(－1,0)，∵AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为y＝x＋1，由整理得7y2－6y－9＝0，
由根与系数的关系得y1＋y2＝，y1y2＝－，则由弦长公式|AB|＝·
＝·＝.
9.C [如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有
|F1F2|＝|PF2|，∠PF1F2＝∠F2PF1＝30°
所以∠PF2A＝60°，∠F2PA＝30°，所以|PF2|＝2|AF2|＝2＝3a－2c.
又因为|F1F2|＝2c，所以，2c＝3a－2c，所以e＝＝.]
10. D解析 S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.
11.ABC [e＝ ＝ c＝，＝ ＝ ＝ b＝a.
∴ax2＋bx－c＝0 ax2＋ax－＝0 x2＋x－＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝－，∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝.
∵1＜＜2，∴点P在圆x2＋y2＝1外，在x2＋y2＝上，在x2＋y2＝2内，故应选ABC.]
12. A解析 联立方程组可得即(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝1－x0＝1－＝，
所以kOP＝＝＝.
13.C [设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有＋＝1，＋＝1，两式相减，又x1＋x2＝y1＋y2＝2，
因此＋＝0，即＝－，所求直线的斜率是－，
弦所在的直线方程是y－1＝－(x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.]
14. D解析 由题意得椭圆方程为＋y2＝1，联立化简得3x2－4x＝0，
得x＝0或x＝，代入直线方程得或
不妨设A(0,1)，B，所以|AB|＝＝.
15. 解析由已知可得直线方程为y＝2x－2，|OF|＝1，联立方程得解得或不防设A(0，－2)，B，所以S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
16.[解] (1)将y＝x＋b代入＋y2＝1，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.①
因为直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点，所以Δ＝16b2－12(2b2－2)＝24－8b2＞0，
解得－＜b＜.所以b的取值范围为(－，)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0.
解得x1＝0，x2＝－.所以y1＝1，y2＝－.所以|AB|＝＝.
17.[解] (1)由题意得解得c＝，b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝|x1－x2|
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，由＝，化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
18.[解] (1)依题意知A(a,0)，B(0，－b)，
∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，
∴＝，－＝－，即a＝，b＝1，∴椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)由(1)知B(0，－1)，依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1(k＜0)，则直线BM的方程为：y＝－x－1，
由消去y得(1＋3k2)x2－6kx＝0，解得：xN＝，yN＝kxN－1，
∴|BN|＝＝＝|xN|
∴|BN|＝|xN－xB|＝·，
在y＝－x－1中，令y＝0得x＝－k，即M(－k,0)
∴|BM|＝，
在Rt△MBN中，∵∠BMN＝60°，∴|BN|＝|BM|，即·＝·，
整理得3k2－2|k|＋1＝0，解得|k|＝，∵k＜0，∴k＝－，∴点M的坐标为.