3.2.1 双曲线及其标准方程（分层练习）（Word版含解析）

3.2.1 双曲线及其标准方程
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.若方程－＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A.－1－1 C.m>3 D.m<－1
2．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1(x≥4)
C．－＝1 D．－＝1(x≥3)
3．若ax2＋by2＝b(ab＜0)，则这个曲线是(　　)
A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上
4.若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　)
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆
C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线
5．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
6．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为(　　)
A．22或2 B．7
C．22 D．2
7.双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，3)，则k的值是________.
8.若双曲线－＝1的焦距为10，则m＝________.
9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所表示的曲线类型．
能 力 练
综合应用 核心素养
10．(多选题)设θ是三角形的一个内角，对于方程＋＝1的说法正确的是(　　)
A．当0＜θ＜时，方程表示椭圆
B．当θ＝时，方程不表示任何图形
C．当＜θ＜时，方程表示焦点在x轴上的双曲线
D．当＜θ＜π时，方程表示焦点在y轴上的双曲线
11.设椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2=(　　)
A. B. C. D.
12．(多选题)已知方程＋＝1表示的曲线为C.给出以下判断，正确的是(　　)
A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆
B．当t＞4或t＜1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
13．已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A． B． C． D．
14.已知双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，若双曲线上的点P到点F1的距离为12，则点P到点F2的距离为________.
15.焦点在x轴上的双曲线经过点P(4，－3)，且Q(0，5)与两焦点的连线互相垂直，则此双曲线的标准方程为______________.
16.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
17.已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，求|PF1|＋|PF2|的值.
18.已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状.
【参考答案】
1.B 解析　依题意应有m＋1>0，即m>－1.
2. D　[由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴M点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
3. B　[因为ab＜0，方程可化为＋y2＝1，∴＜0，方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
4. C 解析　原方程可化为－＝1.
∵k>1，∴k2－1>0，1＋k>0.∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
5.C　[由 (|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1。
A　[根据双曲线的方程得2a＝2×5＝10，由定义知||PF|－12|＝10，可解得|PF|＝22或2，故选A.]
7. －1 解析　原方程可化为－＝1，由焦点坐标是(0，3)可知c＝3，且焦点在y轴上，
∴k<0.c2＝－－＝－＝9，∴k＝－1.
8. 9解析　由题意知a＝4，b＝，c＝5，又由a2＋b2＝c2得16＋m＝25，∴m＝9.
9. [解]　(1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
10. BC　[当0＜θ＜时，sin θ＞0，cos θ＞0，但当θ＝时，sin θ＝cos θ＞0表示圆，故A错误；当θ＝时，cos θ＝0，方程无意义，所以不表示任何图形，故B正确；当＜θ＜π时，sin θ＞0，cos θ＜0，所以不论＜θ＜还是＜θ＜π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所以C正确，D错误，故选BC.]
11. B解析　设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1＋d2＝2， ① |d1－d2|＝2， ②
①2＋②2得d＋d＝18.①2－②2得2d1d2＝6.而c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝.
12. BCD　[A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4－t)(t－1)＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，
∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4.]
13. D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3.
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝.故选D.]
14. 22或2 解析　设F1为左焦点，F2为右焦点，
当点P在双曲线左支上时，|PF2|－|PF1|＝10，|PF2|＝22；
当点P在双曲线右支上时，|PF1|－|PF2|＝10，|PF2|＝2.
15. －＝1解析　设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)，则由QF1⊥QF2，得kQF1·kQF2＝－1，
∴·＝－1，∴c＝5.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，∵双曲线过(4，－3)，∴－＝1，
又∵c2＝a2＋b2＝25，∴a2＝16，b2＝9.∴双曲线的标准方程为－＝1.
x2－＝1　[设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．
由题意得B(2,0)，C(2,3)，所以解得所以双曲线的标准方程为x2－＝1.]
17. 解　不妨设P在双曲线的右支上，|PF1|＝2＋x，|PF2|＝x(x>0)，因为PF1⊥PF2，
所以(x＋2)2＋x2＝(2c)2＝8，所以x＝－1，x＋2＝＋1，所以|PF2|＋|PF1|＝－1＋＋1＝2.
18. 解　(1)椭圆方程可化为＋＝1，焦点在x轴上，且c＝＝，故设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得a2＝3，b2＝2，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)不妨设M点在右支上，则有|MF1|－|MF2|＝2，又|MF1|＋|MF2|＝6，故解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，又|F1F2|＝2，因此在△MF1F2中，|MF1|最长，而cos∠MF2F1＝<0，
所以∠MF2F1为钝角.故△MF1F2为钝角三角形.