3.2.2 双曲线的简单几何性质（分层练习）

3.2.2 双曲线的简单几何性质
基 础 练
巩固新知 夯实基础
1.已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1
2.双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是(　　)
A.y＝±3x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x
3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
4．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A． B．3
C．2 D．4
5.已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为______.
6．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，渐近线方程是________．
7．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．
8.已知双曲线的一条渐近线为x＋y＝0，且与椭圆x2＋4y2＝64有相同的焦距，求双曲线的标准方程.
能 力 练
综合应用 核心素养
9．若实数k满足0＜k＜5，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)
A．实半轴长相等 B．虚半轴相等 C．离心率相等 D．焦距相等
10．(多选题)关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的说法正确的是(　　)
A．有相同的焦点 B．有相同的焦距
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
11．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)
12.已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)
A. B. C. D.
13．过双曲线－＝1的右焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，F1是左焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率是(　　)
A． B．1＋ C．2＋ D．3－
14.双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为________.
15.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________.
已知椭圆＋＝1与双曲线－y2＝1的公共焦点为左焦点F1，右焦点F2，点P是两条曲线在第一象限内的一个公共点，则|PF1|＝________，cos∠F1PF2的值为________．
17.已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.
18．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点是F(2,0)，离心率e＝2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l的方程．
【参考答案】
1. A 解析　依题意知焦点在x轴上，c＝4，＝2，∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12.故双曲线的方程为－＝1.
2. C 解析　双曲线方程可化为标准形式为－＝1，∴a＝1，b＝，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3. A　[双曲线C的渐近线方程为－＝0，又点P(2,1)在C的渐近线上，所以－＝0，即a2＝4b2　①.
又a2＋b2＝c2＝25　②.
由①②，得b2＝5，a2＝20，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]
B　[根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，
分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，求得M(3，) ，N，
所以|MN|＝＝3.]
5. 4x±3y＝0 解析　由椭圆＋＝1知长轴端点分别为(－5，0)和(5，0)，焦点是(－3，0)，(3，0)，由此可知双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)，顶点为(－3，0)，(3，0)，所以双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为4x±3y＝0.
6. 2　y＝±x　[a2＝1，b2＝m，e2＝＝＝1＋m＝3，m＝2.渐近线方程是y＝±x＝±x.]
7. －＝1　[以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即－＝1.]
8.解　椭圆方程为＋＝1，可知椭圆的焦距为8.
①当双曲线的焦点在x轴上时，
设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1；
②当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)，
∴　解得∴双曲线的标准方程为－＝1.
由①②可知双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
9. D　[由于16＋(5－k)＝(16－k)＋5，所以焦距相等．]
10.BD　[两方程均化为标准方程为－＝1和－＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝±x，故D正确．C1的离心率e＝，C2的离心率e＝，故C错误．]
11. C　[由题意得双曲线的离心率e＝.即e2＝＝1＋.
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜.故选C.]
12. B 解析　由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则解得所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
B　[因为|PF2|＝|F2F1|, P点满足－＝1，∴y＝，
∴2c＝，即2ac＝b2＝c2－a2，∴2＝e－，又e＞0，故e＝1＋.]
14. y＝±x 解析　因为双曲线的离心率为，所以＝，即c＝a.又c2＝a2＋b2，所以(a)2＝a2＋b2，化简得2a2＝b2，所以＝.因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以y＝±x.
15.y＝±x解析　因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b>0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.
16.＋　　[因为F1，F2分别为左、右焦点，点P在第一象限，由椭圆与双曲线的定义可得解得
又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.]
17. 解　椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且a2＋b2＝25.
∵圆M的圆心为(0，5)，半径为r＝3..∴＝3，∴a＝3，b＝4.
∴双曲线G的方程为－＝1.
18. [解]　(1)由已知得c＝2，e＝2，所以a＝1，b＝.所以所求双曲线方程为x2－＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m，点M(x1，y1)，N(x2，y2)．
联立整理得2x2－2mx－m2－3＝0.(*)
设MN的中点为(x0，y0)，则x0＝＝，y0＝x0＋m＝，所以线段MN垂直平分线的方程为
y－＝－，即x＋y－2m＝0，与坐标轴的交点分别为(0,2m)，(2m,0)，
可得|2m|·|2m|＝4，得m2＝2，m＝±，此时(*)的判别式Δ＞0，故直线l的方程为y＝x±.