焦点三角形与交比定理
【知识点讲解】
1、椭圆中焦点三角形
在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则：
①
②
③,其中.
④焦点三角形的周长为；
⑤当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
⑥如上图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，则：; ;
2、双曲线中焦点三角形
（1）在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则：
①
②
③
如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，
，则：;
;
3、交比定理
设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.（双曲线也有类似结论）
【典例讲解】
【例1】（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．面积的最大值为
C．的最大值为1 D．以线段为直径的圆与直线相切
听课笔记：
【跟踪训练1】（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
独立试做：
【例2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
听课笔记：
【跟踪训练2】（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．
独立试做：
【例3】已知椭圆：的右焦点为F，右准线，点，线段AF交C于点B．若，则( )
A． B．2 C．1 D．3
听课笔记：
【跟踪训练3】已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与C交于点B.若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
独立试做：
【对点训练】
一、单选题
1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2． 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
4．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则
A． B． C． D．
6．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A．2 B．4 C．6 D．8
7．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为
A． B． C． D．
8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.
A． B． C． D．
9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
10．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则C的两条渐近线的方程是
B．若点P的坐标为，则C的离心率大于3
C．若，则的面积等于
D．若C为等轴双曲线，且，则
13．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
14．已知椭圆的左 右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左 右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的周长为4+
B．当时，的边
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
16．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
17．已知双曲线的左 右焦点分别为，，O为坐标原点，圆，P是双曲线C与圆O的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．点到一条渐近线的距离为
C．的面积为
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
18．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
19．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
20．双曲线上有点是双曲线的焦点，且，则的面积是 ．
21．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为______.
22．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
23．已知点在双曲线，且，则的面积等于__________
24．已知焦点为的椭圆上有一点P，且的面积是__________
25．已知是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，则的面积=_________．焦点三角形与交比定理
【知识点讲解】
1、椭圆中焦点三角形
在椭圆()中,,分别为左、右焦点,为椭圆上一点,,的面积记为，则：
①
②
③,其中.
④焦点三角形的周长为；
⑤当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
⑥如上图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，则：; ;
2、双曲线中焦点三角形
（1）在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则：
①
②
③
如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，
，则：;
;
3、交比定理
设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足.（双曲线也有类似结论）
【典例讲解】
【例1】（多选）设椭圆：的左、右焦点分别为、，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．离心率 B．面积的最大值为
C．的最大值为1 D．以线段为直径的圆与直线相切
【答案】ACD
【详解】解：因为椭圆的方程为，故，所以离心率，故A项正确；
由题可知，，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，最大值为，故B项错误；
设，则，，
则，
所以，
又，故，所以的最大值为1，故C项正确；
因为，所以以线段为直径的圆的方程为，圆心为，半径为，
又直线方程为，故圆心到直线的距离为，
所以以线段为直径的圆与直线相切，故D项正确.
【跟踪训练1】（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．的最大值为4
C．的面积可能为2 D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确
【例2】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上，现有四个条件：①；②；③PO平分；④点P关于原点对称的点为Q，且，能使双曲线Ｃ的离心率为的条件组合可以是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】AD
【详解】③PO平分且PO为中线，可得，点P在双曲线的右支上，所以不成立；若选①②：，，可得，，
所以，即离心率为，成立；
若选②④：，点P关于原点对称的点为Q，且，可得四边形为矩形，即，可得，，
所以，即离心率为，成立
【跟踪训练2】（多选）已知双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，点是双曲线的右支上一点，且三角形为正三角形（为坐标原点），记，的斜率分别为，，设为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．双曲线的离心率为
C． D．
【答案】ABD
【详解】因为为正三角形，所以
所以，
所以
故A正确
将点坐标代入双曲线方程可得
即，即
即，即
设（），则
解之得：或（舍）
所以，所以
故B正确，
故C错误
设的内切圆半径为，则，，
所以，即，故D正确
【例3】已知椭圆：的右焦点为F，右准线，点，线段AF交C于点B．若，则( )
A． B．2 C．1 D．3
【答案】A
【详解】
如图由题可得：
令带入椭圆方程，可得
【跟踪训练3】已知椭圆的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与C交于点B.若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，因为，所以，
由，可得，解得，
代入椭圆方程可得，化简得，即，
【对点训练】
一、单选题
1．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
2． 是椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 是椭圆上一点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，
， ，
， ，
在中，， ，
3．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在中，，设，则，
又由椭圆定义可知，则离心率，
4．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【详解】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，，由，解得，
在右支上，可得，可得，即，则，
令，，可得
而在，单调递减，，，，
5．已知双曲线C的离心率为2，焦点为、，点A在C上，若，则
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知设则由定义得
在中，由余弦定理得，故选A．
6．已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【详解】由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．
7．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，由得，
点A在椭圆上，则：，整理可得：.
8．设椭圆的两焦点为，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为.
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当P是椭圆的上下顶点时,最大, 则椭圆的离心率的取值范围为,故选C.
9．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,
由斜率为得，，
由正弦定理得,
所以，故选D.
10．已知是双曲线上的三个点，经过原点，经过右焦点，若且，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设左焦点为， ，连接
则 ， ， ，
因为，且经过原点
所以四边形 为矩形
在Rt△中， ，代入
化简得 ，所以在Rt△中，，代入
，化简得 ，即
11．已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得
，
即，
∴椭圆的离心率
二、多选题
12．设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则C的两条渐近线的方程是
B．若点P的坐标为，则C的离心率大于3
C．若，则的面积等于
D．若C为等轴双曲线，且，则
【答案】BC
【详解】解：由题意得：A选项：当时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；
B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；
D选项：若C为等轴双曲线，则，从而．若，则，．在中，由余弦定理，得
13．已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
【答案】BC
【详解】由双曲线方程得，，则，由△的面积为20，
得，得，即点到轴的距离为4，故错误，
将代入双曲线方程得，根据对称性不妨设，，
则，由双曲线的定义知，
则，则，故正确，
在△中，，
则，为钝角，则△为钝角三角形，故正确，
，则错误
14．已知椭圆的左 右焦点为点P在椭圆上，且不与椭圆的左 右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的周长为4+
B．当时，的边
C．当时，的面积为
D．椭圆上有且仅有6个点P，使得为直角三角形
【答案】AD
【详解】由椭圆的方程可得：，，，
对于选项A: 的周长为，故选项A 正确；
对于选项B：当时，轴，令，可得，所以，故选项B不正确；当时，的面积为，故选项C不正确；
当点位于椭圆的上下顶点时，，而，此时，有2个直角三角形，当时，，此时点位于第二或第三象限，有2个直角三角形，同理可得时，，此时有2个直角三角形，所以共有6个直角三角形
15．已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．直线与直线的斜率之积为
C．存在点满足
D．若的面积为，则点的横坐标为
【答案】BD
【详解】由题意，，，，，短轴一个顶点，
，A错；设，则，，
所以，B正确；
因为，所以，从而，而是椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；
，，，则，，D正确．
16．在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且满足，则（ ）
A．△ABF2的周长为定值 B．AB的长度最小值为1
C．若AB⊥AF2，则λ=3 D．λ的取值范围是[1，5]
【答案】AC
【详解】因为，则三点共线，周长是定值，A对．
，B错．
∵，则，A在上、下顶点处，不妨设，则
解得或，，，，C对．
令
消x可得，时，
时，∴，D错．
17．已知双曲线的左 右焦点分别为，，O为坐标原点，圆，P是双曲线C与圆O的一个交点，且，则下列结论中正确的有（ ）
A．双曲线C的离心率为
B．点到一条渐近线的距离为
C．的面积为
D．双曲线C上任意一点到两条渐近线的距离之积为2
【答案】ABD
【详解】解：∵双曲线，∴，
又圆，∴圆O的半径为c，∴为圆O的直径，∴，
故作图如下：
对于A，∵，∴，
∴，令，则，
∴，
∴，又，
∴双曲线C的离心率，故A正确；
对于B，由于到渐近线的距离，故B正确；
对于C，由离心率得，，
∴，
∴，，
∴的面积为，故C错误；
对于D，由得双曲线C的方程为：，
故其两条渐近线方程为，即，
设为双曲线C上任意一点，则，即①，
到两条渐近线的距离，，
∴，故D正确
18．已知点为椭圆（）的左焦点，过原点的直线交椭圆于，两点，点是椭圆上异于，的一点，直线，分别为，，椭圆的离心率为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】设椭圆的右焦点，
连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，．
由余弦定理可得，
所以，所以椭圆的离心率．
设，，则，，，
所以，又，，相减可得．
因为，所以，所以．
三、填空题
19．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为___________.
【答案】
【详解】设，，且得：.
20．双曲线上有点是双曲线的焦点，且，则的面积是 ．
【答案】
【详解】由双曲线得到||=2a=8，两边平方得所以,
在三角形中 由余弦定理得到，两式联立得，所以的面积是．
21．椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为______.
【答案】24
【详解】由椭圆得，
即，而，，则，
于是有，即，
的面积为.
22．双曲线C：(，)的焦点为、，P在双曲线右支上，且，为C的渐近线方程，若的面积为，则双曲线C的焦距长为______．
【答案】
【详解】∵C的渐近线方程是，∴C为等轴双曲线，a=b，
∴．设，则2a=3m-m=2m，即m=a，则，
设∠=θ，在△中，由余弦定理得，
，
即，化简可得，
∴，
∵，
，，，，．
23．已知点在双曲线，且，则的面积等于__________
【答案】
【详解】解：双曲线，即，
，得，可得，设，
由双曲线的定义知，又已知，
在中，由余弦定理知
，
∴，因此，的面积为.
24．已知焦点为的椭圆上有一点P，且的面积是__________
【答案】
【详解】由椭圆的方程，则，
可得焦点，，设，，由椭圆的定义可得，
由，利用余弦定理可得，
即，联立，解得，，
所以.
25．已知是椭圆上的点，，是椭圆的两个焦点，，则的面积=_________．
【答案】
【详解】由椭圆的方程可得：，，，
在中，，，
在中，由余弦定理可得：
即，可得，
解得：，
由三角形面积公式可得的面积为
