新疆霍城县第二中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题（Word含解析）

2021-2022学年第二学期高二期中（文科）数学考试卷
考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．下列命题：
①“若，则”的否命题；
②“若，则的解集为R”的逆否命题；
③“周长相同的圆面积相等”的逆命题；
④“若为有理数，则x为无理数”的逆否命题.
其中真命题的序号为（ ）
A．②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
2．对椭圆.下列说法：
①椭圆C的长轴长为10； ②椭圆C的离心率为；③椭圆C的准线方程为.
其中正确的个数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．y=3x-1 B．y= - 3x+5 C．y=3x+5 D．y=2x
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若双曲线的焦点到其渐近线的距离为，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的导数记为，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列命题错误的是( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B．命题“若，则”的否命题为“若，则”
C．若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件
D．“ ”是“”的充分不必要条件
8．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B．
C． D．
9．函数的导函数为（ ）
A． B．
C． D．
10．设命题正四面体是三棱锥，则为（ ）
A．正四面体都不是三棱锥 B．有的三棱锥不是正四面体
C．有的正四面体不是三棱锥 D．不是正四面体就不是三棱锥
11．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数f(x)＝x3－12x，若f(x)在区间(2m，m＋1)上单调递减，则实数m的取值范围是 (　　)
A．－1≤m≤1 B．－1第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则的取值范围是_________.
14．已知为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于 两点，若 ，则 ________
15．已知函数的图象在点处的切线过点，则______．
16．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点，弦的长为16，则直线的倾斜角等于________
三、解答题
17．已知,设命题函数在R上单调递减，不等式的解集为R,若和中有且只有一个命题为真命题，求的取值范围.
18．求适合下列条件的曲线的标准方程.
（1），焦点在轴上的椭圆的标准方程；
（2），焦点在轴上的双曲线的标准方程.
19．已知函数,当x = -1时取得极大值7，当x = 3时
取得极小值；
(1)求的值；
（2）求的极小值．
20．已知p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3.
（1）当a＝1时，p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
21．已知椭圆经过点 ，，点是椭圆的下顶点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点且互相垂直的两直线，与直线分别相交于 ，两点，已知，求直线 的斜率.
22．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若恒成立.求a的取值范围.
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据互为逆否命题的两个命题同真假判断可得；
【详解】
解：对于①，命题的逆命题为若，则，故逆命题为真，所以否命题为真；
对于②，若，则恒成立，故不等式的解集为，即原命题为真，故逆否命题为真；
对于③“面积相等的圆周长相同”为真命题；
对于④“若为有理数，则为0或无理数”，故原命题为假，逆否命题为假．
故选：B．
2．D
【解析】
【分析】
求得椭圆标准方程为，所以以及，可得，由此分别判断各个选项即可得解.
【详解】
由的方程为，
所以，
设椭圆长轴和短轴分别为，
所以，
所以，故①正确；
由，所以，
所以 ，故②正确；
准线方程，故③正确.
所以正确的个数为.
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义求出函数在处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．
【详解】
，
，
曲线在点处的切线方程为，
即，
故选：．
4．A
【解析】
【分析】
对求解，结合充分条件、必要条件的定义即可得出答案
【详解】
由题，将代入，等式成立，所以“”是“”的充分条件；
求解，得到，故“”是“”的不必要条件；
故选：A
5．A
【解析】
【分析】
由题意列方程组，解出，即可求解.
【详解】
双曲线的一条渐近线为，所以.
又有，解得：，
所以双曲线的方程为.
故选：A
6．D
【解析】
【分析】
求导后代入即可.
【详解】
，.
故选：D.
7．C
【解析】
【分析】
根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.
【详解】
命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；
或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：C.
8．D
【解析】
【分析】
将抛物线方程化为标准方程，进而得到焦点坐标.
【详解】
由可得抛物线标准方程为：，其焦点坐标为.
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
根据导数的四则运算公式直接求导即可.
【详解】
，
故选：D．
10．C
【解析】
【分析】
利用全称命题的否定可得出结论.
【详解】
命题为全称命题，该命题的否定为有的正四面体不是三棱锥.
故选：C.
11．A
【解析】
设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.
【详解】
由双曲线可得．
设，．则，，
所以，．
因为是等腰三角形，且，
所以，即，所以，
所以，，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，
的周长
．
故选：A．
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.
12．D
【解析】
【详解】
因为f ′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f ′(x)<0 －2点睛：导数与函数的单调性
(1)函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则
在该区间为增函数；如果，则在该区间为减函数.
(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.
13．且.
【解析】
【分析】
首先保证二次项系数不为零，再根据判别式求解.
【详解】
解析由题意知,
解得：且.
故答案为：且.
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围问题，比较简单,只要列出满足原命题为真的条件式求解即可.
14．8
【解析】
【分析】
运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a＝20，再由周长，即可得到AB的长．
【详解】
椭圆1的a＝5，
由题意的定义，可得，|AF1|+|AF2|＝|BF1|+|BF2|＝2a，
则三角形ABF2的周长为4a＝20，
若|F2A|+|F2B|＝12，
则|AB|＝20﹣12＝8．
故答案为8
【点睛】
本题考查椭圆的方程和定义，考查运算能力，属于基础题．
15．
【解析】
利用导数的几何意义求解出点处的切线方程，然后根据点在切线上求解出的值.
【详解】
解：∵，∴，
∴，而，
∴切线方程为，
∵切线过点，∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查利用导数的几何意义求解参数值，难度一般.利用导数求解函数在某点处的切线方程，可先求解出该点处的导数值即为切线的斜率，然后再利用直线的点斜式方程写出切线方程.
16．或
【解析】
求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式，转化求解直线的斜率，得到倾斜角．
【详解】
解：直线经过抛物线的焦点，
若直线斜率不存在，则弦长为不合题意，
故直线斜率存在，设为，直线方程为：，
且与抛物线交于,，,两点，
可得，即，
可得，弦的长为16，
即，解得．
所以，直线的倾斜角为：或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，合理地进行等价转化，注意抛物线性质的合理运用．
17．或.
【解析】
【分析】
先通过指数函数的单调性求出为真命题的的范围,再通过构造函数求绝对值函数的最值进一步求出命题为真命题的的范围,分真假与假真两类求出的范围即可.
【详解】
由函数在R上单调递减知
所以命题为真命题时的取值范围是
令
则，不等式的解集为R
只要即可，而函数在R上的最小值为
所以，即即真
若真假,则若假真，则
所以命题和有且只有一个命题正确时的取值范围是或.
【点睛】
解决复合命题的真假问题一般通过真值表将复合命题的真假问题转化为构成它的简单命题的真假来解决.
18．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的标准方程中、分别表示长轴、短轴的长度，结合焦点在轴上即可写出椭圆的标准方程；（2）根据双曲线的标准方程中、分别表示实轴、虚轴的长度，结合焦点在轴上即可写出双曲线的标准方程；
【详解】
（1）由题意知：椭圆的标准方程为；
（2）由题意知：双曲线的标准方程为；
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的几何性质，根据参数、以及焦点位置写出圆锥曲线的标准方程，属于简单题.
19．(1);(2)-25
【解析】
【详解】
分析：（1）由题可知函数的极值点为-1,3，故-1,3为导函数等于零的解（2）由（1）可得在3处取极小值，代入原方程求解即可.
解：∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b （2分）
∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值
∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有
∴， ∴f(x) = x3– 3x2– 9x + c（6分）
∵当x = -1时，函数取极大值7，∴( - 1 )3– 3( - 1 )2– 9( - 1) + c = 7,∴c = 2（9分）
此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33- 3×32- 9×3×2 =- 25（12分）
点睛：本题主要考察对极值点的定义理解，极值点一定是导函数得零点即方程的根，然后将极值点代入原函数即得对应的极值.属于简单题
20．（1）2＜x＜3；（2）2≤a≤.
【解析】
（1）分解因式化简命题p，解绝对值不等式化简q，利用p∧q为真命题，求出实数x的取值范围；
（2）利用p是q的充分不必要条件，列出不等式，解出实数a的取值范围．
【详解】
p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），解得：a＜x＜3a（a＞0）.
q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，解得2＜x＜8.
（1）当a＝1时，p：1＜x＜3.p∧q为真命题，∴，解得2＜x＜3.
∴实数x的取值范围是2＜x＜3.
（2）若p是q的充分不必要条件，则，等号不能同时成立，
解得：2≤a≤.
∴实数a的取值范围是2≤a≤.
【点睛】
本题考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的应用，考查学生计算能力，属于中档题．
21．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由椭圆经过点，，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解；
（2）设直线，，分别联立方程组，求得的坐标，结合，列出方程，即可求解.
【详解】
（1）由题意，椭圆经过点，，
可得，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，直线，的斜率存在且不为零，
设直线，联立方程组，解得，
设直线，联立方程组，解得，
因为，所以，
当时，即，此时无实数解；
当时，整理得，即，解得，
综上可得，直线的斜率为.
22．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求得，得到，且，进而求得曲线在处的切线方程；
（2）由（1）知，令，得到恒成立，进而求得函数的单调性与最小值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数，则，
可得，且，所以曲线在处的切线方程为.
（2）由（1）知，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，且，
当时，，，所以单调递诚；
当时，，所以单调递增.
即当时取到极小值，也是最小值，所以.
因为恒成立，所以的取值范围为.