6.3反比例函数的应用 同步复习小测 2022-2023学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

6.3反比例函数的应用---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（　　）
A． B．
C． D．
2．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则用电阻R表示电流I的函数表达式为（　　）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知△ABC为等腰直角三角形，CB=CA=5，点C（0，3），点B在x轴正半轴上，点A在第三象限，且在反比例函数y= 的图象上，则k=（　　）
A．3 B．4 C．6 D．12
4．已知点A（﹣2，1），B（1，4），若反比例函数y= 与线段AB有公共点时，k的取值范围是（　　）
A．﹣2≤k≤4 B．k≤﹣2或k≥4
C．﹣2≤k＜0或k≥4 D．﹣2≤k＜0或0＜k≤4
5．在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点P在反比例函数的图象上，如果点P的纵坐标是3，OP=5，那么该函数的表达式为（　　）
A． y= B． y=- C． y= D． y=-
6．如图，反比例函数y1＝和正比例函数y2=k2x的图象交于A（-1，-3）、B（1，3）两点，若＞k2x，则x的取值范围是（　　）
A．-1＜x＜0 B．-1＜x＜1
C．x＜-1或0＜x＜1 D．-1＜x＜0或x＞1
二、填空题
7．反比例函数y＝ 的图象经过点（﹣2，3），则k的值为　 　.
8．如图、正比例函数 与反比例函数 的图象交于（1,2），则在第一象限内不等式 的解集为　 　.
9．如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= ，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为　 　．
10．如果一个正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，那么（x2﹣x1）（y2﹣y1）的值为　 　．
11．如图，菱形AOCB的顶点A坐标为（3，4），双曲线y＝ （x >0）的图象经过点B，则k的值为　 　.
12．在体积为20的圆柱中，底面积S关于高h的函数关系式是　 　
三、解答题
13．如图，已知一次函数y1＝kx＋b与反比例函数y2＝ 的图象交于 、 两点.分别求出y1和y2的解析式.
14．如图所示的双曲线是函数 为常数， )图象的一支若该函数的图象与一次函数 的图象在第一象限的交点为 ，求点A的坐标及反比例函数的表达式.
15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y1= （x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y2= （x＞0，k＜0）的y2图象于点B，BC⊥x轴，若S△ABC= ，求函数y2．
16．用函数解析式表示下列问题中变量间的对应关系：
一个游泳池的容积为2000m立方，游泳池注满水的时间t（单位：h）随注水速度u（m3/h）的变化而变化．
17．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．当F为AB的中点时，求该函数的解析式.
18．如图，反比例函数y=在第一象限的图象经过矩形OABC对角线的交点E，与BC交于点D，若点B的坐标为（6，4）．
（1）求E点的坐标及k的值；
（2）求△OCD的面积．
【能力提升】
一、单选题
1．已知点(3，﹣1)在反比例函数 的图象上，则下列各点也在该反比例函数图象上的是（　　）
A．(1，3) B．(﹣3，﹣1) C．(﹣1，3) D．(3，1)
2．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 （单位： ）与体积 （单位： ）满足函数关系式 （ 为常数， ），其图象如图所示，则 的值为（）
A． B． C． D．
3．如图是一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=的图象，观察图象写出y1＞y2时，x的取值范围（　　）
A．-2＜x＜0或x＞1 B．-2＜x＜1
C．x＜-2或x＞1 D．x＜-2或0＜x＜1
4．若反比例函数 的图象经过点（1，4），则此反比例函数图象经过（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
5．已知点A（-1，5）在反比例函数y=的图象上，则该函数的解析式为（　　）
A．y= B．y= C．y=- D．y=5x
6．反比例函数y= 的图象与直线y=﹣x+2有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，则t的取值范围是（　　）
A．t＜ B．t＞ C．t≤ D．t≥
二、填空题
7．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为　 　.
8．在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝ 的图象交于点A（a，﹣6），则k＝　 　.
9．反比例函数 的图像经过点(2，3)，则 的值等于　 　．
10．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数 的图象交于A（﹣2，1）、B（1，﹣2）两点．一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是　 　．
11．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按照原路返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系式是　 　．
12．一批零件300个，一个工人每小时做15个，用关系式表示人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为　 　 ．
三、解答题
13．已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，直线 与x轴交于点A，与双曲线 在第一象限内交于点B，BC垂直x轴于点C，OC=2AO．求双曲线 的解析式．
14．如图，已知A（﹣2，﹣2）、B（n，4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
15．如图，已知A（﹣4，n），B（1，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集（请直接写出答案）．
16．已知圆锥的体积，（其中s表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高）．若圆锥的体积不变，当h为10cm时，底面积为30cm2，请写出h关于s的函数解析式．
【基础复习答案】
1．【答案】B
【解析】【解答】由矩形的面积4=xy，可知y与x间的关系式为y= （x＞0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的面积公式得矩形的面积4=xy （x＞0），根据两个变量的乘积是一个定值得出y与x成反比例函数关系，根据反比例函数的图象是双曲线，又自变量的取值是正数，故图像的一支在第一象限，从而做出选择。
2．【答案】D
【解析】【解答】由题意可设 ，
∵该函数的图象过点（2，3），
∴ ，
∴该函数的表达式为： .
【分析】因为双曲线过点（2，3），所以可用待定系数法求解析式。
3．【答案】A
【解析】【解答】如图，作AH⊥y轴于H．
∵CA=CB，∠AHC=∠BOC，∠ACH=∠CBO，
∴△ACH≌△CBO，
∴AH=OC，CH=OB，
∵C（0，3），BC=5，
∴OC=3，OB= =4，
∴CH=OB=4，AH=OC=3，
∴OH=1，
∴A（-3，-1），
∵点A在y= 上，
∴k=3，
故答案为：A．
【分析】如图，作AH⊥y轴于H．根据同角的余角相等得出∠ACH=∠CBO，然后由AAS判断出△ACH≌△CBO，根据全等三角形的对应边相等得出AH=OC，CH=OB，从而得出A点的坐标，再将A点的坐标代入双曲线的解集线即可求出k的值。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：①当k＞0时，如下图：
将x=1代入反比例函数的解析式得y=k，
∵y随x的增大而减小，
∴当k≤4时，反比例函数y= 与线段AB有公共点．
∴当0＜k≤4时，反比例函数y= 与线段AB有公共点．
②当k＜0时，如下图所示：
将x=﹣2代入反比例函数得解析式得：y=﹣ ，
∵反比例函数得图象随着x得增大而增大，
∴当﹣ ≤1时，反比例函数y= 与线段AB有公共点．
解得：k≥﹣2，
∴﹣2≤k＜0．
综上所述，当﹣2≤k＜0或0＜k≤4时，反比例函数y= 与线段AB有公共点．
故选；D．
【分析】当k＞0时，将x=1代入反比例函数的解析式的y=k，当k≤4时，反比例函数y= 与线段AB有公共点；当k＜0时，将x=﹣2代入反比例函数的解析式得：y= ，当 时，反比例函数图象与线段AB有公共点．
5．【答案】A
【解析】【解答】解：在RT△OPD中，过P作PD⊥x轴于D，则PD=3，
∴OD= =4，
∴P（4，3），
∴代入反比例函数y=得，3=，
解得k=12，
∴反比例函数的解析式为y=，
故选A．
【分析】过P作PD⊥x轴于D，则PD=3，根据勾股定理求得OD，得出D的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式．
6．【答案】C
【解析】【解答】由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜-1；
在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1．
故选C．
【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．
7．【答案】-6
【解析】【解答】把（ 2，3）代入函数y＝ 中，得3＝ ，解得k＝ 6.
故答案为： 6.
【分析】根据题意把点（-2,3）代入反比例函数的解析式计算即可求解。
8．【答案】x＞1
【解析】【解答】解：根据图象可得：第一象限内不等式k1x＞
的解集为x＞1.
故答案是：x＞1.
【分析】在第一象限内不等式k1x＞ 的解集就是正比例函数图象都在反比例函数图象上方时x的取值范围.
9．【答案】或
【解析】【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵点A的坐标为（a，﹣a）（a＞0），
∴点B（a， ）、点C（﹣ ， ）、点D（﹣ ，﹣a），
∴OA= = a，OC= = ．
又∵原点O分对角线AC为1：2的两条线段，
∴OA=2OC或OC=2OA，
即 a=2× 或 =2 a，
解得：a1= ，a2=﹣ （舍去），a3= ，a4=﹣ （舍去）．
故答案为： 或 ．
【分析】本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，再由两点间的距离公式求出线段的长度是关键．根据点的选取方法找出点B、C、D的坐标，由两点间的距离公式表示出线段OA、OC的长，再根据两线段的关系可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键是找出线段OA、OC的长．
10．【答案】﹣20
【解析】【解答】解：∵正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，关于原点对称，依此可得x1=﹣x2，y1=﹣y2，
∴（x2﹣x1）（y2﹣y1）
=x2y2﹣x2y1﹣x1y2+x1y1
=x2y2+x2y2+x1y1+x1y1
=﹣5×4
=﹣20．
故答案为：﹣20．
【分析】正比例函数的图象与反比例函数y=﹣ 的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1=﹣x2，y1=﹣y2，将（x2﹣x1）（y2﹣y1）展开，依此关系即可求解．
11．【答案】32
【解析】【解答】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
则∠AMO=∠BNC=90°，
∵四边形AOCB是菱形，
∴OA=BC=AB=OC，AB∥OC，OA∥BC，
∴∠AOM=∠BCN，
∵A（3，4），
∴OM=3，AM=4，由勾股定理得：OA=5，
即OC=OA=AB=BC=5，
在△AOM和△BCN中 ，
∴△AOM≌△BCN（AAS），
∴BN=AM=4，CN=OM=3，
∴ON=5+3=8，
即B点的坐标是（8，4），
把B的坐标代入y= ，
得：k=32，
故答案为：32.
【分析】过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，根据菱形的性质及点A的坐标，可求出OA的长，再证明△AOM≌△BCN，得出BN、ON的长，就可求得点B的坐标，利用待定系数法，可求出反比例函数的解析式。
12．【答案】s=．
【解析】【解答】解：由题意得：底面积S关于高h的函数关系式是s=．
故本题答案为：s=．
【分析】根据等量关系“圆柱底面积=圆柱体积÷圆柱高”即可列出关系式．
13．【答案】解：把点 代入
当 时，
把 ， 代入y1＝kx＋b
，
①-②得，
把 代入①得，
即
.
【解析】【分析】先把A点坐标代入 y2＝ ，求出反比例函数解析式，接着把 代入反比例函数求出B点坐标，最后把A、B两点坐标代入一次函数 y1＝kx＋b ，解出k、b即可得到一次函数解析式.
14．【答案】解： 点 在一次函数 的图象上，
点A的坐标为 .
又 点A在反比例函数 为常数， )的图象上，
反比例函数的表达式为 .
【解析】【分析】先将x=2代入一次函数 中可得，点A的坐标为 ，再将点A的坐标代入 可得反比例函数的解析式.
15．【答案】解：设A（m， ）（m＜0），
直线AB的解析式为y=ax（k≠0），
∵A（m， ），
∴ma= ，解得a= ，
∴直线AB的解析式为y= x．
∵AO的延长线交函数y= 的图象于点B，
∴B（﹣ mk，﹣ ），
∵△ABC的面积等于 ，CB⊥x轴，
∴ ×（﹣ ）×（﹣ mk+|m|）= ，解得k1=﹣5（舍去），k2=3，
∴y2=
【解析】【分析】设A（m， ）（m＜0），则可得到直线AB的解析式为y= x．再利用反比例函数与一次函数的交点问题可表示出B（﹣ mk，﹣ ），则利用三角形面积公式得到 ×（﹣ ）×（﹣ mk+|m|）= ，解得k1=﹣5（舍去），k2=3，于是得到y2= ．
16．【答案】解：由题意得ut=2000，
整理得t=．
【解析】【分析】根据注水速度×注水时间=游泳池的容积可得ut=2000，变形即可求出t与u的函数解析式．
17．【答案】解：∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，∴B（3，2）．∵F为AB的中点，∴F（3，1）．∵点F在反比例函数 （k＞0）的图象上，∴k=3，∴该函数的解析式为 （x＞0）
【解析】【分析】根据矩形的性质由矩形的边长OA=3，OC=2得出B点的坐标，又F为AB的中点，故能得出F点的坐标，然后将F点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出比例系数K的值，从而得出反比例函数的解析式。
18．【答案】解：（1）∵E是矩形OABC对角线的交点，
∴OE=EB，
∵点B的坐标为（6，4），
∴E点的坐标是（3，2），
把x=3，y=2代入y=得k=6；
（2）设点D的坐标为（x，y），则S△OCD=OC×OD，
即S△OCD=xy=k，
由（1）知k=6，
∴S△OCD=k=3．
【解析】【分析】（1）由E是矩形OABC对角线的交点，得到OE=EB，由于点B的坐标为（6，4），于是得到E点的坐标是（3，2），即可得到结论；
（2）设点D的坐标为（x，y），即S△OCD=xy=k=3．
【能力提升答案】
1．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点（3，﹣1）在反比例函数 的图象上，
∴k＝3×（﹣1）＝﹣3，
而1×3＝﹣3×（﹣1）＝3×1＝3，﹣1×3＝﹣3，
∴点（﹣1，3）在该反比例函数图象上．
故答案为：C．
【分析】先求出k＝3×（﹣1）＝﹣3，再求解即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：如图：
由图象可知，函数图象经过点（6，1.5），
设反比例函数为 ，
则1.5= ，
解得k=9，
故答案为：A．
【分析】由题意可知图像过点（6，1.5），把这个点代入计算即可求解。
3．【答案】A
【解析】【分析】根据图象可以知道一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1 k2≠0)的图象的交点的横坐标，若y1＞y2，则根据图象可以确定x的取值范围．
【解答】如图，依题意得一次函数y1=k1x+b和反比例函数y2=（k1 k2≠0)的图象的交点的横坐标分别为x=-2或x=1，
若y1＞y2，则y1的图象在y2的上面，
x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．
故选A．
【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合的方法解决问题．
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，
即 ，
∴反比例函数的图象经过第一、三象限.
故答案为：A.
【分析】利用待定系数法求出k的值，可得到函数解析式，再利用反比例函数的图象与系数的关系可得答案.
5．【答案】C
【解析】【分析】设出反比例函数解析式，将P（-1，5)代入解析式求出k的值即可．
【解答】将P（-1，5)代入解析式y=得，
k=（-1)×5=-5，
解析式为：y=-．
故选C．
【点评】解答此题要明确待定系数法：现设某些未知的系数，然后根据已知条件求出未知系数的方法叫待定系数法．
6．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：﹣x+2= ，
所以x2﹣2x+1﹣6t=0，
∵两函数图象有两个交点，且两交点横坐标的积为负数，
∴
解不等式组，得t＞ ．
故答案为：B．
【分析】联立函数解析式整理得到关于x的一元二次方程，则方程有两个不相等的实数根，即△>0，又由于横坐标的积为负数，则两个解的积为负数，根据根与系数关系可得关于t的不等式，联立求解可得t的范围.
7．【答案】y=
【解析】【解答】解：设该反比例函数的解析式为
将x= ，y=400代入，得
解得：k=100
∴眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为
故答案为： .
【分析】设该反比例函数的解析式为 ，然后将x= ，y=400代入即可求出函数关系式.
8．【答案】12
【解析】【解答】解：∵点A（a，﹣6）在正比例函数y＝3x的图象上，
∴﹣6＝3a，
解得a＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣6）
∵点A（﹣2，﹣6）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝﹣2×（﹣6）＝12，
故答案为：12.
【分析】先根据y＝3x求得A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值.
9．【答案】8
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点（2，3）
∴k-2=2×3=6
解之：k=8
故答案为：8
【分析】把点（2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程即可求得k的值。
10．【答案】x＜﹣2或0＜x＜1
【解析】【解答】解：∵A（﹣2，1），B（1，﹣2），
由图象可知：一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．
故答案为：x＜﹣2或0＜x＜1．
【分析】根据两函数的交点坐标可知要使一次函数的值大于反比例函数的值，就要观察直线x=-2，x=0，x=1将两函数的图象分成四部分，观察函数图象可得出x的取值范围。
11．【答案】v=
【解析】【解答】解：∵一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了4小时到达乙地，那么路程为80×4=320千米，
∴汽车的速度v（千米/小时）与时间t（小时）的函数关系为v= ．
故答案为v= ．
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度=路程÷时间”列出关系式即可．
12．【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：人数x与完成任务所需的时间y之间的函数关系式为y=300÷15x=．
故本题答案为：y=．
【分析】根据等量关系“x个工人所需时间=工作总量÷x个工人工效”即可列出关系式．
13．【答案】解：在 中，令y=0，得 ．解得 ．∴直线 与x轴的交点A的坐标为：（-1，0）∴AO=1．∵OC=2AO，∴OC=2．∵BC⊥x轴于点C，∴点B的横坐标为2．∵点B在直线 上，∴ ．∴点B的坐标为 ．∵双曲线 过点B ，∴ ．解得 ．∴双曲线的解析式为
【解析】【分析】利用一次函数的值为0求出对应的x的值，就可得出点A的坐标，再根据OC=2OA，可得出OC的长，从而可得出点B的横坐标，将点B的横坐标代入一次函数解析式求出点B的纵坐标，即可得出点B的坐标，然后利用待定系数法，由点B的坐标就可求出双曲线的解析式。
14．【答案】解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在y=上，∴m=4．∴反比例函数的解析式为y=．∵点B（n，4）在y=上，∴n=1．∴B（1，4）．∵y=kx+b经过A（﹣2，﹣2），B（1，4），∴．解之得．∴一次函数的解析式为y=2x+2．（2）设C是直线AB与y轴的交点，∴当x=0时，y=2．∴点C（0，2）．∴OC=2．∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×1=3．
【解析】【分析】（1）把A（﹣2，﹣2）代入反比例函数y=，得出m的值，再把B（n，4）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算．
15．【答案】解：（1）∵反比例函数y=（m≠0）过点B（1，﹣4），∴m=1×（﹣4）=﹣4，∴y=﹣，将x=﹣4，y=n代入反比例解析式得：n=1，∴A（﹣4，1），∴将A与B坐标代入一次函数解析式得：，解得：，∴y=﹣x﹣3；（2）在直线y=﹣x﹣3中，当y=0时，x=﹣3，∴C（﹣3，0），即OC=3，∴S△AOB=S△AOC+S△COB=（3×1+3×4）=；（3）不等式kx+b﹣＜0的解集是﹣4＜x＜0或x＞1．
【解析】【分析】（1）将B坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；将A坐标代入反比例解析式求出n的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）对于直线AB，令y=0求出x的值，即可确定出C坐标，三角形AOB面积=三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可；
（3）由两函数交点A与B的横坐标，利用图象即可求出所求不等式的解集．
16．【答案】解：∵，当h为10cm时，底面积为30，
∴V=×10×30=100（cm3），
∴100=sh，
∴h关于s的函数解析式为：．
【解析】【分析】首先根据已知求出V的值，进而代入，即可得出h与s的函数关系式．