6.2 反比例函数的图像性质（基础复习 能力提升）同步复习小测 2022-2023学年北师大版数学九年级上册（Word版含答案）

6.2反比例函数的图像性质---九年级同步复习小测（基础复习+能力提升）
【北师大版】
【基础复习】
一、单选题
1．下列图象中是反比例函数y＝﹣ 图象的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如果两点和在反比例函数的图象上，那么与间的关系是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在函数y1=（x＜0）和y2=（x＞0）的图象上，分别有A、B两点，若AB∥x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S△AOC=，S△BOC=，则线段AB的长度是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．若(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是y=的图象上的点，且x1＜0＜x2＜x3.则下列各式正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y1＞y3 D．y2＜y3＜y1
5．已知点P（1，m），Q（2，n）是反比例函数y＝ 图象上的两点，则（　　）
A．m＜n＜0 B．n＜m＜0 C．0＜m＜n D．0＜n＜m
6．若反比例函数 ，当 时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
7．已知点 ， 在反比例函数 的图象上，则 ， 的大小关系是　 　.
8．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，若轴，则的面积为　 　．
9．已知y是x的反比例函数，且当x=4，y=﹣1．
（1）函数y与x之间的函数表达式为　 　 ；
（2）当一3≤x≤﹣时，y的取值范围是　 　 ；
（3）若x＞1时，y的取值范围是　 　 ；
（4）若y＜2时，x的取值范围是　 　 ．
10．如图，P是反比例函数 图象上的一点， 轴于A，点B，C在y轴上，四边形PABC是平行四边形，则 PABC的面积是　 　.
11．如图，点A在双曲线 上，点B在双曲线 （k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为　 　．
12．如图，反比例函数y= （k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为　 　．
三、解答题
13．已知反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，求n的取值范围．
14．如图，P1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上一点，点A1的坐标为（1，0）．
（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？
（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为直角三角形，其中∠P1OA1=P2A1A2=60°，求此反比例函数的解析式及点A2的坐标．
15．在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0，k＞0）的图象经过点A（m，n），B（2，1），且n＞1，过点B作y轴的垂线，垂足为C，若△ABC的面积为2，求点A的坐标．
16．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1、2、3、4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，小明先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子摇匀后，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．请用列表法或画树状图法求出点（x，y）落在反比例函数的图象上的概率．
17．若反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，求函数的解析式．
【能力提升】
一、单选题
1．已知反比例函数的图象，在每一个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是(　　)．
A．m＞2 B．m＜-2 C．m＜0 D．m＞0
2．反比例函数y=﹣ 的图象在（　　）
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3．如图，点M是反比例函数（x>0）图象上任意一点，MN⊥y轴于N，点P是x轴上的动点，则△MNP的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
4．如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数 的图象过点A，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
5．如图，平行于x轴的直线与函数 ， 的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若 的面积为4，则 的值为
A．8 B． C．4 D．
6．已知反比例函数y=，若x≥5，则函数y有（　　）
A．最大值1 B．最小值1 C．最大值0 D．最小值0
二、填空题
7．若点A1（2，y1），A2（﹣2，y2）都在反比例函数 的图象上，则y1　 　y2（填＞、＜或＝）
8．请写出一个位于第一、三象限的反比例函数表达式，y =　 　.
9．点P，Q，R在反比例函数y=（常数k>0，x>0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴，y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3.若OF=FG= GA，S1+S3=10，则S2的值为　 　.
10．如图，过反比例函数 的图象上一点A作 轴于点B，连接 ，若 ，则 　 　.
11．反比例函数y=，在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　 ．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝ （x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为　 　.
三、解答题
13．在双曲线y= 的任一支上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围．
14．已知x1，x2，x3是y= 图像上三个点的横坐标，且满足x3>x2>x1>0。请比较 与 的大小，并说明理由。
15．证明：任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．
16．已知函数y=(k-2)为反比例函数．
（1）求k的值；
（2）它的图象在第几象限内，在各象限内，y随x增大而怎么 ；
（3）求出﹣2≤x≤﹣时，y的取值范围．
【基础复习答案】
1．【答案】C
【解析】【解答】反比例函数y＝－ 图象是双曲线，且位于第二、四象限.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0时，图像分支在第一、三象限，当k＜0时，图像分支在第二、四象限，利用函数解析式可得结果。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：把点代入反比例函数得，；
点代入反比例函数得，；
，
．
故答案为：D．
【分析】将点和代入求出和，再比较大小即可。
3．【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB∥x轴，交y轴于点C，
∴S△AOC=|k1|=，S△BOC=|k2|=，
∴k1=﹣3，k2=27，
设C点坐标为（0，t），则A点坐标为（﹣，t），B点坐标为（，t），
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOC=90°，
而∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOC，
∴Rt△AOC∽Rt△OBC，
∴OC：BC=AC：OC，即t：=：t，解得t=3，
∴AB=+===10．
故选C．
【分析】根据反比例函数k的几何意义得到|k1|=，|k2|=，解得k1=﹣3，k2=27，设C点坐标为（0，t），则A点坐标为（﹣，t），B点坐标为（，t），
再证明Rt△AOC∽Rt△OBC，利用相似比得到t：=：t，解得t=3，然后计算AB=+即可．
4．【答案】D
【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的特征，xy=3，所以得到x1 y1=-5，x2 y2=-5，x3 y3=-5，再根据x1＜0＜x2＜x3，即可判断y1、y2、y3的大小关系．
【解答】∵A（x1，y1)，B（x2，y2)，C（x3，y3)是反比例函数y=
图象上的点，
∴x1 y1=-5，x2 y2=-5，x3 y3=-5，
∵0＜x2＜x3，
∴y2∵x1＜0，
∴y1＞0，
∴y1＞y3＞y2．
故选D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的特征，凡是在反比例函数图象上的点，横纵坐标的乘积是一个定值k．
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵y＝ 中k＝6＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴0＜n＜m，
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的k的符号得出函数的增减性，由题可知点P和点Q在第一象限，即可得出结果.
6．【答案】D
【解析】【解答】解：根据题意，当 时，y随x的增大而增大，
图象在第二象限，
，
故答案为：D．
【分析】当 时，y随x的增大而增大，即可得出图象在第二象限，可得出k的取值范围。
7．【答案】
【解析】【解答】∵反比例函数中y＝－ 中 ，
∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵0＜1＜2，
∴A、B两点均在第四象限，
∴a＜b.
故答案为：a＜b.
【分析】由反比例函数y＝－ 可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y随x的增大而增大，根据这个判定则可.
8．【答案】3
【解析】【解答】解：如图，设PQ与y轴相交于点M，
∵PQ∥x轴，
∴
故答案为：3．
【分析】利用反比例函数k的几何意义和割补法可得。
9．【答案】y=﹣　；≤x≤8　；﹣4＜y＜0；x＞0或x＜﹣2
【解析】【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，
∵当x=4，y=﹣1，
∴k=﹣1×4=﹣4，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）当一3≤x≤﹣时，y=﹣连续递增
又当x=﹣3时，y=，当x=﹣时，y=8，
∴当一3≤x≤﹣时，y的取值范围是≤x≤8；
（3）当x=1时，y=﹣4，
∵k=﹣4，在每一象限内y随着x的增大而增大，
∴当x＞1时，y的取值范围是﹣4＜y＜0；
（4）当y=2时，x=﹣2，
∵k=﹣4，在每一象限内y随着x的增大而增大，
∴当y＜2时，y的取值范围是x＞0或x＜﹣2；
故答案为：y=﹣；≤x≤8；﹣4＜y＜0；x＞0或x＜﹣2．
【分析】（1）利用待定系数法确定反比例函数的解析式即可；
（2）根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可；
（3）根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围即可；
（4）根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．
10．【答案】6
【解析】【解答】作PD⊥BC,
所以，设P（x，y）.
由 ，
得平行四边形面积=BC PD=xy=6.
故答案为：6
【分析】作PD⊥BC,根据三个角为直角的四边形是矩形可得四边形OAPD是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得S矩形OAPD=6，由平行四边形的面积公式可得平行四边形面积=BC PD=S矩形OAPD=6.
11．【答案】12
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A在双曲线 上，
∴矩形EODA的面积为：4，
∵矩形ABCD的面积是8，
∴矩形EOCB的面积为：4+8=12，
则k的值为：xy=k=12．
故答案为：12．
【分析】首先求出矩形EODA的面积，利用矩形ABCD的面积是8，可得矩形EOCB的面积为4+8=12，再利用xy=k求出k的值即可.
12．【答案】8
【解析】【解答】解：设E（a， ），则B纵坐标也为 ，
E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标： ，
因为BF=BC﹣FC= ﹣ = ，所以F也为中点，
S△BEF=2= ，k=8．
故答案是：8．
【分析】设E（a， ），则B纵坐标也为 ，代入反比例函数的y= ，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．
13．【答案】解：反比例函数y= 的图象经过第二、四象限，
∴n+6<0，
∴n<-6
【解析】【分析】反比例函数中，当k＜0时，反比例函数图象位于第二、四象限，据此可得n+6<0 即可得出答案.
14．【答案】解：（1）过P1作P1C⊥OA1，垂足为C，设P1（a，b），∵P1在第一象限，∴△P1OA1的面积=×0A1×b=b．又∵当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小．故当点P1的横坐标逐渐增大时，其纵坐标逐渐减小，则△P1OA1的面积将逐渐减小．（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=．∵△P2A1A2为直角三角形，∠P2A1A2=60°，∴P2A2⊥x轴，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，所以P2（1+a，a）．∵P2（1+a，a）在反比例函数的图象上，∴代入y=，得（1+a） a=，化简得a2+2a﹣1=0解得：a=∵a＞0，∴a=∴A1A2=∴OA2=OA1+A1A2=所以点A2的坐标为（，0）．
【解析】【分析】（1）设P1（a，b），根据反比例函数的图象性质，可知y随x的增大而减小．又△P1OA1的面积=×0A1×b=b．故当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将逐渐减小；
（2）因为△P1OA1是直角三角形，所以OA1=1，P1A1=，所以P1（1，）．代入y=，得k=，所以反比例函数的解析式为y=，由于△P2A1A2为直角三角形，∠2A1A2=60°，设A1A2=a，则OA2=1+a，P2A2=a，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
15．【答案】解：∵B（2，1），
∴BC=2，
∵△ABC的面积为2，
∴×2×（n﹣1）=2，
解得：n=3，
∵B（2，1），∴k=2，
反比例函数解析式为：y=，
∴n=3时，m=，
∴点A的坐标为（，3）．
【解析】【分析】根据图象和△ABC的面积求出n的值，根据B（2，1），求出反比例函数的解析式，把n代入解析式求出m即可．
16．【答案】解：由题意，可列表：
第一次\第二次 1 2 3 4
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4）
由已知，共有16种结果，且每种结果出现的可能性相同，其中满足要求的有3种，
∴P（点落在双曲线的图象上）=.
【解析】【分析】利用列表法求出所有点，找出满足要求的点，即可求出。
17．【答案】解：根据题意得： ，
解得：m=﹣5
则函数的解析式是：y=﹣
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可以得到m2﹣24=1，而图象经过第二、四象限，则比例系数是负数，据此即可求解．
【能力提升答案】
1．【答案】B
【解析】【分析】先根据反比例函数的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】∵反比例函数y=的图象在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∴m+2＜0，
∴m＜-2．
故答案为：B
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵k=﹣1，
∴图象在第二、四象限，
故选：C．
【分析】根据反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行解答．
3．【答案】A
【解析】【分析】延长NM，作PA⊥MN，设M的坐标为(x，y)，由题意可知，S△MNP=MN×PA=xy，因为点M在反比例函数，xy=2，所以xy=1，故选A.
【点评】该题考的是常考的知识点，考查学生对反比例函数k的几何意义的掌握，要求学生必须熟练。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：因为图象在第二象限，
所以k＜0，
根据反比例函数系数k的几何意义可知|k|=2×2=4，
所以k=﹣4．
故答案为：D．
【分析】观察图像，可知双曲线分布在第二、四象限，根据正方形ABOC的边长为2，得出其面积为4，即可得k的值。
5．【答案】A
【解析】【解答】 轴，
，B两点纵坐标相同，
设 ， ，则 ， ，
，
，
故答案为：A．
【分析】设 ， ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ， 根据三角形的面积公式得到 ，即可求出 ．
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y=，
∴反比例函数在第一象限内，y随x的增大而减小，
∴当x≥5时，y≤1，
∴y有最大值1.
故答案为：A.
【分析】根据反比例函数图象增减性与k符号关系，即k＞0时，在第一、三象限内，y随x的增大而减小，∵k=5＞0，所以当x≥5时，y≤1，即y有最大值1，即可得出正确答案.
7．【答案】＞
【解析】【解答】解：因为点A1（2，y1），A2（﹣2，y2）都在反比例函数 的图象上，
由2＞0，可知：反比例函数图象过一，三象限，
则y1＞y2．
故答案为：＞．
【分析】根据反比例函数的性质即可得结论．
8．【答案】 （答案不唯一）
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为 ，
∵图象位于第一、三象限，∴k＞0，
∴可写解析式为 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）.
【分析】利用反比例函数的性质，当k＞0时，图象分支在第一、三象限，由此可得答案.
9．【答案】2
【解析】【解答】解：∵OF=FG=AG，
∴四边形AOER的面积=3S1，四边形DERH的面积=3S2，四边形CBHD的面积=3S3，
∴，，，
即，，.
∵，
∴，
解得.
∴.
故答案为：2.
【分析】由题意可得SAOER=3S1，SDERH=3S2，SCBHD=3S3，结合反比例函数k的几何意义可得3S1=k，2S1+2S2=k，S1+S2+S3=k，然后表示出S1、S2、S3，结合S1+S3=10可求出k的值，进而可得S2.
10．【答案】-6
【解析】【解答】解：∵ 轴， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为-6.
【分析】直接根据反比例函数的几何意义即可解答.
11．【答案】m＜1
【解析】【解答】解：由题意得 y=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
则m﹣1＜0，
即m＜1．
故答案为：m＜1．
【分析】由于反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则满足m﹣1＜0即可．
12．【答案】2
【解析】【解答】解：在函数 中k=2，
∴S△OAC= S△OAD= =1，
∴S△OAC+ S△OBD=2
【分析】由反比例函数中k值的含义，可知△OAC与△OBD的面积为1，则可求出答案.
13．【答案】解：∵y都随x的增大而增大，
∴此函数的图象在二、四象限，
∴1﹣k＜0，
∴k＞1
【解析】【分析】先根据已知反比例函数的增减性判断出1﹣k的符号，再求出k的取值范围即可．
14．【答案】解：∵第一象限反比例函数值随自变量的增大而减小
x3>x2>x1>0
∴ ，
∴
【解析】【分析】利用反比例函数的性质，观察函数图象可知已知三个点在第一象限，由此可得反比例函数值随自变量的增大而减小，再根据x3>x2>x1>0，就看确定出 与 的大小关系。
15．【答案】证明：设P（a，b）为反比例函数图象y=上任意一点，则ab=k，
点P关于直线y=x的对称点为（b，a），由于b a=ab=k，所以点（b，a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=x轴对称；
点P关于直线y=﹣x的对称点为（﹣b，﹣a），由于﹣b （﹣a）=ab=k，所以点（﹣b，﹣a）在反比例函数y=的图象上，即反比例函数图象y=关于y=﹣x轴对称，
即任意一个反比例函数图象y=关于y=±x轴对称．
【解析】【分析】利用反比例函数图象上任意一点关于y=±x轴对称点还在反比例函数y=图象上进行证明．
16．【答案】解：（1）由题意得：k2﹣5=﹣1，
解得：k=±2，
∵k﹣2≠0，
∴k=﹣2；
（2）∵k=﹣2＜0，
∴反比例函数的图象在二、四象限，在各象限内，y随着x增大而增大；
故答案为：二、四，增大；
（3）∵反比例函数表达式为y=-，
∴当x=﹣2时，y=2，当x=-时，y=8，
∴当﹣2≤x≤﹣时，2≤y≤8．
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的定义确定k的值即可；
（2）根据反比例函数的性质结合求得的k的符号描述其图象的位置及增减性即可；
（3）分别代入自变量的值结合其增减性即可确定函数值的取值范围．