直线与圆专题巩固
专题一 圆的方程
基本知识：
圆的标准方程
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．
(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝.故有：
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
一般地 方程表示圆的充要条件是
常见问题以及解决方法
1.圆的标准方程的计算
（1）基本元素法：
基本思路：圆的基本元素即为圆心和半径.根据已知条件若能求出待求圆的圆心和半径，带入圆的标注方程即可.
一般方式：①若条件中已知圆心和半径，直接带入圆的标准方程即可；②根据几何性质求圆心和半径，常用的几何性质包括：(Ⅰ)圆的任意一条弦的垂直平分线经过圆心；(Ⅱ)过切点与切线垂直的直线经过圆心；(Ⅲ)两圆相切(内切或外切)时，两圆圆心的连线经过切点.
（2）待定系数法：
基本思路：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)含有三个参数，依据条件列出关于的方程（组），解除方程组的解，带入方程即可.
例1-1经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．
例题1-2 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
2.圆的一般方程的计算
圆的一般方程形式为，其中包含三个独立的参数.
如果已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将其展开即可得圆的一般方程，即
，其中.若条件中圆的圆心、半径等基本元素不易确定，在可以利用待定系数法，设出圆的一般形式，依据条件列出相关方程组，解方程组得出参数值，即可得圆的一般式.
例题1-3 求经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程．
例题1-4 求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
专题二、圆的方程的简单应用(与圆相关的最值问题计算)
常见代数结构及其转化
①形如形式的最值问题，可整理为，进而转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
例题2-1 已知点在圆上.
(1)求的取值范围; (2)求的最大值和最小值; (3)求的取值范围.
例题2-2已知点P是圆上的动点，P到直线的距离为d，当m变化时，d的最大值为
专题三、直线与圆以及圆与圆的位置关系
基本知识：
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相离、相切、相交．
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＜r 相交，d＝r 相切，d＞r 相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，则有：
|C1C2|＞r1＋r2 ⊙C1与⊙C2相离；
|C1C2|＝r1＋r2 ⊙C1与⊙C2外切；
|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2 ⊙C1与⊙C2相交；
|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2) ⊙C1与⊙C2内切；
|C1C2|＜|r1－r2| ⊙C1与⊙C2内含．
3.直线与圆相交所得弦长：
几何法：其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.
代数法：，其中k表示弦MN所在直线的斜率，点M、N的坐标分别为.
4.两个圆相交时，两个交点之间的线段称为这两个圆的公共弦，公共弦所在直线的方程为两个圆的方程“相减”，即若圆与圆相交，则它们的公共弦所在直线的方程为
注意：解决直线与圆的相关问题通常有“代数法”(即利用代数方程)和“几何法”(结合几何关系利用数形结合思想)两种方式，充分利用平面几何相关性质可以简化解题过程，提高解题效率。与圆相关的常见性质有：垂径定理、切割线定理、弦切角定理等.
例题3-1直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_______
例题3-2已知圆：，直线：.
（1）无论取任何实数，直线必经过一个定点，求出这个定点的坐标；
（2）当取任意实数时，直线和圆的位置关系有无不变性，试说明理由；
（3）请判断直线被圆截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时的值以及弦的长度.
例题3-3 已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
专题四 圆的切线问题
圆的切线方程的一般计算方法：
待定系数法(代数法)：根据条件设出相应的直线方程，由于圆的切线与圆只有一个交点，从而联立直线与圆的方程，利用求出结果；
利用几何性质(几何法)：利用圆的切线的相关性质，如：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线与切线垂直等，求出直线的基本要素，进而求切线方程.
特殊情况：
① 圆上点处的切线方程为
②圆上点处的切线方程为
③圆上点处的切线方程为.
例题4-1 若直线与曲线没有公共点，则实数所的取值范围是______.
例题4-2 已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
例题4-3 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
专题五、直线与圆的综合问题
直线与圆的问题与平面几何的关系十分紧密，在解决具体问题时，需要充分利用“解析法”的思想，即将代数方程和几何关系有机结合。利用几何关系建立相关模型和结构，进而利用代数运算加以计算，从而达到解决问题的目的.
例题5-1 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与夹角的正切值等于_______
例题 5-2 A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是________．
例题5-3 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围
※专题六 直线与圆的参数方程(拓展学习)
直线的参数方程：过点，倾斜角为的直线参数方程为：
其中参数t表示任意点Q与定点P之间的有向线段，如图一，图二
圆的参数方程,如图
注意：参数方程不唯一，选择不同的参数相应的参数亦不相同，这里只简单介绍常用的一种.
例题6-1 已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
例题6-2 在直角坐标系 中， 直线 的方程为 ( 为参数)， 圆，若直线 与 轴的交点为 ， 直线 与圆 的交点为 ， 求 的值.
例题6-3在平面直角坐标系中，已知直线，圆，若点是曲线上的一点，点到直线和轴的距离分别为、，求的最大值.直线与圆专题巩固
专题一 圆的方程
基本知识：
圆的标准方程
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程．
(2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为2＋2＝.故有：
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程表示以为圆心，以为半径的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示一个点；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
一般地 方程表示圆的充要条件是
常见问题以及解决方法
1.圆的标准方程的计算
（1）基本元素法：
基本思路：圆的基本元素即为圆心和半径.根据已知条件若能求出待求圆的圆心和半径，带入圆的标注方程即可.
一般方式：①若条件中已知圆心和半径，直接带入圆的标准方程即可；②根据几何性质求圆心和半径，常用的几何性质包括：(Ⅰ)圆的任意一条弦的垂直平分线经过圆心；(Ⅱ)过切点与切线垂直的直线经过圆心；(Ⅲ)两圆相切(内切或外切)时，两圆圆心的连线经过切点.
（2）待定系数法：
基本思路：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)含有三个参数，依据条件列出关于的方程（组），解除方程组的解，带入方程即可.
例1-1经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________．
分析：思路一，圆经过A,B两点，从而圆心在弦AB的垂直平分线l上，求出l的方程，l与已知直线2x－y－3＝0的交点P即是圆心，然后根据两点间的距离公式计算PA，即为半径.
思路二，有条件设圆心,根据,列出方程即可求出圆心坐标，进而计算半径.
解析 ∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，
∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上，
∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2，
又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2，
∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10.
答案 (x－4)2＋(y－5)2＝10
例题1-2 圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
解析：不妨设圆心，其中，半径为，因为直线与圆相切，所以有，若圆的面积最小，则半径最小，则
，即，此时，所以圆方程为：
答案：A
2.圆的一般方程的计算
圆的一般方程形式为，其中包含三个独立的参数.
如果已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，将其展开即可得圆的一般方程，即
，其中.若条件中圆的圆心、半径等基本元素不易确定，在可以利用待定系数法，设出圆的一般形式，依据条件列出相关方程组，解方程组得出参数值，即可得圆的一般式.
例题1-3 求经过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)的圆的标准方程．
解 设圆的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0，
例题1-4 求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程．
解析： 设所求的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆心为，半径为.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
由圆与x轴相切，得Δ＝0，即D2＝4F.
又圆心到直线x－y＝0的距离为.
由已知，得2＋()2＝r2，
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤
又圆心在直线3x－y＝0上，
∴3D－E＝0.⑥
联立④⑤⑥，解得
D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1.
故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0，或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0.
评注：该题同样可以利用条件求出圆的圆心和半径，进而利用圆的标准方程求解.
专题二、圆的方程的简单应用(与圆相关的最值问题计算)
常见代数结构及其转化
①形如形式的最值问题，可整理为，进而转化为动直线斜率的最值问题；
②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
例题2-1 已知点在圆上.
(1)求的取值范围; (2)求的最大值和最小值; (3)求的取值范围.
解析: 圆的标准方程为，即圆心为(1,1),半径为1.
(1) 表示圆C上的动点与点M(2,-2)连线的斜率.如图可知过点M(2,-2)的直线与圆C相切与点A时，斜率最大，无最小值.设直线MA的方程为，即，则圆心(1,1)到直线MA的距离等于圆的半径1，即，解得,故的取值范围是
(2)设，因为点在圆C上，即直线与圆右交点.即圆心到直线的距离小于等于半径
即解得，因此最大值为，最小值为.
(3)设,从而只需求的取值范围.d表示点动点与定点(-1,-1)之间的距离.又因为点在圆C上，即只须求圆C上一点到点(-1,-1)之间距离的最大值和最小值,如图可知最大值为，最小值为.又,故有，即的取值范围是.
例题2-2已知点P是圆上的动点，P到直线的距离为d，当m变化时，d的最大值为
解析：由已知圆的标准方程为，即圆心为(2,-1),半径3.并且直线
恒过点,并且点A在圆C内，从而可知点P到直线l的距离最大值为圆心C到直线l的距离加上半径，故只需计算圆心C到直线l的距离的最大值.结合图形可知，当时，圆心C到直线l的距离最大，此时.因此点P到直线距离的最大值.
专题三、直线与圆以及圆与圆的位置关系
基本知识：
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相离、相切、相交．
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：
(1)代数法：
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＜r 相交，d＝r 相切，d＞r 相离．
2．圆与圆的位置关系的判定
设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，
⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0)，则有：
|C1C2|＞r1＋r2 ⊙C1与⊙C2相离；
|C1C2|＝r1＋r2 ⊙C1与⊙C2外切；
|r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2 ⊙C1与⊙C2相交；
|C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2) ⊙C1与⊙C2内切；
|C1C2|＜|r1－r2| ⊙C1与⊙C2内含．
3.直线与圆相交所得弦长：
几何法：其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离.
代数法：，其中k表示弦MN所在直线的斜率，点M、N的坐标分别为.
4.两个圆相交时，两个交点之间的线段称为这两个圆的公共弦，公共弦所在直线的方程为两个圆的方程“相减”，即若圆与圆相交，则它们的公共弦所在直线的方程为
注意：解决直线与圆的相关问题通常有“代数法”(即利用代数方程)和“几何法”(结合几何关系利用数形结合思想)两种方式，充分利用平面几何相关性质可以简化解题过程，提高解题效率。与圆相关的常见性质有：垂径定理、切割线定理、弦切角定理等.
例题3-1直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则_______
解析：由直线方程可知，若将单位圆分成相等的四段弧，则弦端点与圆心所成的角为，所以，所以解得，所以
例题3-2已知圆：，直线：.
（1）无论取任何实数，直线必经过一个定点，求出这个定点的坐标；
（2）当取任意实数时，直线和圆的位置关系有无不变性，试说明理由；
（3）请判断直线被圆截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时的值以及弦的长度.
分析：（1）将直线的方程化简：将含参数的项合并，不含参数的项合并，分别令二者为，由此求解出定点坐标；
（2）根据直线所过的定点与圆的关系，确定出直线与圆的位置关系；
（3）根据条件分析出当直线垂直时截得的弦最短，根据垂直时对应的斜率之积为求解出的值，再利用勾股定理求解出的值.
解析：（1）直线：可变形为，
由，解得：，直线恒过；
（2）圆心，，∵，∴直线过圆内一定点，不论取何值时，直线和圆总相交；
（3）当直线垂直时，截得的弦最短，
，，，∴.
最短的弦长，∴，.
例题3-3 已知圆与圆．
(1)求证：圆与圆相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程；
(3)求经过两圆交点，且圆心在直线上的圆的方程．
分析
（1）表示出圆的圆心和半径，根据圆与圆位置关系的判断方式，；
（2）将两圆方程作差，即可求出公共弦方程；
（3）思路一、首先求出两圆的交点坐标，设圆心为，根据得到方程，即可求出，从而求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程.思路二、利用圆系方程进行运算.
解析:(1)证明：圆：化为标准方程为，
，圆的圆心坐标为，半径为，
，，两圆相交；
(2)解：由圆与圆，
将两圆方程相减，可得，即两圆公共弦所在直线的方程为；
(3)解：方法一、由，解得，
则交点为，，
圆心在直线上，设圆心为，
则，即，解得，
故圆心，半径，所求圆的方程为．
方法二（圆系方程）设经过圆的交点的圆方程为，即
，其圆心为，又因为圆心在直线上，代入可得，解得：，即所求圆的方程为
即，化为标准时为
专题四 圆的切线问题
圆的切线方程的一般计算方法：
待定系数法(代数法)：根据条件设出相应的直线方程，由于圆的切线与圆只有一个交点，从而联立直线与圆的方程，利用求出结果；
利用几何性质(几何法)：利用圆的切线的相关性质，如：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线与切线垂直等，求出直线的基本要素，进而求切线方程.
特殊情况：
① 圆上点处的切线方程为
②圆上点处的切线方程为
③圆上点处的切线方程为.
例题4-1 若直线与曲线没有公共点，则实数所的取值范围是______.
【答案】
解析：
如下图所示：即为，表示圆心在，半径为的半圆，
当直线与曲线在左下方相切时，此时，所以，此时（舍）或；
当直线经过点时，，所以，
综上可知：当直线与曲线没有交点时，，
故答案为：.
例题4-2 已知圆.
(1)求过点M（2，1）的圆的切线方程；
(2)直线过点且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
(3)已知圆的圆心在直线y=1上，与y轴相切，且与圆相外切，求圆的标准方程.
解析：(1)圆，即，其圆心为，半径为1.
因为点（2，1）在圆上，如图，所以切线方程为y=1；
(2)由题意得，圆的直径为2，所以直线过圆心，由直线的两点式方程，得，
即直线的方程为x+y-2=0；
(3)因为圆E的圆心在直线y=1上，设圆E的圆心E（a，1），由圆E与y轴相切，得R=a()
又圆E与圆相外切，所以，由两点距离公式得，
所以，解得，所以圆心，，所以圆E的方程为.
例题4-3 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点
（1）求圆的圆心坐标；
（2）求线段的中点的轨迹的方程；
（3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
解析：（1）圆
圆心坐标为
（2）设，则可知
，整理可得：
当动直线与圆相切时，设直线方程：
则
切点的横坐标为
由圆的性质可得：横坐标的取值范围为
所以轨迹方程为
（3）由（2）可得曲线为圆的一部分圆弧（不包括），其中
直线过定点
① 当直线与圆相切时：
② 当直线与圆不相切时，可得，
数形结合可得：当时，直线与圆有一个交点
综上所述：时，直线与曲线只有一个交点
专题五、直线与圆的综合问题
直线与圆的问题与平面几何的关系十分紧密，在解决具体问题时，需要充分利用“解析法”的思想，即将代数方程和几何关系有机结合。利用几何关系建立相关模型和结构，进而利用代数运算加以计算，从而达到解决问题的目的.
例题5-1 直线和是圆的两条切线，若与的交点为，则与夹角的正切值等于_______
答案：
解析：从几何性质出发，结合坐标计算线段的长，设，则，又因为，所以，所以可得，则所求
注：本题也可以利用代数法解答，由题意圆的两条切线斜率均存在，设切线方程，联立直线和圆的方程，利用判别式，求出直线的方程，进而根据直线夹角的计算公式计算.该方式的运算量较大.
例题 5-2 A＝，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠ ，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意可知，即，当时，不符合题意；
当时，，解得，
故
例题5-3 已知的三个顶点，，，其外接圆为圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为2，求直线的方程；
（3）对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围
解：（1）思路：求圆的方程关键在于确定圆心坐标，条件中给了三个点，考虑两点所成线段的垂直平分线为直径（过原点），所以选择两组点，求出两条直径，即可解出圆心。在本题中抓住，关于轴对称。从而得到圆心在轴上，设其坐标为再根据，即可解出值。从而得到圆心坐标，然后计算半径即可得到圆的方程
由外接圆为圆可得：
在垂直平分线上
在轴上 设
，解得：
（2）思路：已知弦长和半径，可求出弦心距。直线过从而可设出直线方程，再利用弦心距解得直线方程即可
设
由弦长为2和可得：
，解得：
当斜率不存在时，，联立方程：
弦长为2，符合题意
综上所述：的方程为和
（3）思路一：（代数方法）由坐标可求出的方程：，其线段上一点，设，则中点，由在圆上可得（设圆的半径为）：，则存在即方程组有解。方程组中的方程为两个圆，只需两个圆有公共点即可。所以，再由整理后可得：对任意恒成立。可得：，再有线段与圆无公共点，即在恒成立。解得：，从而，即可求得的范围
解： 的方程为：
设 在线段上
且
设 为中点
设圆，由在圆上可得：
，整理后可得：
，若存在，则方程组有解
即圆心为，半径为的圆与圆心为，半径为的圆有公共点
根据两圆位置关系可知：，即：
在恒成立
，整理后可得：
在恒成立
设
，解得：
若为中点，则在圆外
即在恒成立
综上所述：
思路二（数形结合）：通过图像可观察出，若对于线段上任意一点均满足题意，则需达到两个条件：第一，在圆外，可先利用坐标判定出为锐角，从而在上的投影位于线段上，所以；第二，到圆上点的最小距离（记为）应小于或等于到圆上点最大距离（记为）的一半，即，否则，若当圆上取其他点时，，由不等式的传递性可知：，不可能为中点。因为在圆外，所以可知在圆上任意一点中，，，代入可得恒成立。综上即可求出的范围
解：，若对任意点，已知条件均满足
则在外
为锐角
在上的投影位于线段上
依题意，若对任意点，均存在使得
设到圆上点的最小距离为，到圆上点最大距离为，则有：
否则若
，导致不存在满足条件的
在圆外 ，代入可得：
由图可知：
即
综上所述：
※专题六 直线与圆的参数方程(拓展学习)
直线的参数方程：过点，倾斜角为的直线参数方程为：
其中参数t表示任意点Q与定点P之间的有向线段，如图一，图二
圆的参数方程,如图
注意：参数方程不唯一，选择不同的参数相应的参数亦不相同，这里只简单介绍常用的一种.
例题6-1 已知点是圆上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A 由，令，则，
所以当时，的最大值为.故选：A
例题6-2 在直角坐标系 中， 直线 的方程为 ( 为参数)， 圆，若直线 与 轴的交点为 ， 直线 与圆 的交点为 ， 求 的值.
解析：直线 的参数方程为 ，代入 ， 得到
故
例题6-3在平面直角坐标系中，已知直线，圆，若点是曲线上的一点，点到直线和轴的距离分别为、，求的最大值.
解：设点的坐标为，其中，
则，
又，所以，
，则，故当时，即当时，取得最大值.
