北师大版（新）九上-1.1 菱形的性质与判定 第二课时【优质课件】

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1.1 菱形的性质与判定
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.菱形的定义
2.如图，已知四边形ABCD是一个平行四边形，
则只需补充 就可以判定它是一个菱形.
3.如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD
相交于点O，并且AC=6cm，BD=8cm，
则菱形ABCD的周长为 cm.
情景导入
根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．
新课精讲
探索新知
1
知识点
由对角线的位置关系判定菱形
可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．
探索新知
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，AC⊥BD. 求证： ABCD是菱形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC.
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线．
∴BA＝BC.
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
证明：
探索新知
总 结
1. 判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
2. 规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分.
典题精讲
如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_____________________________使其成为菱形(只填一个即可)．
AC⊥BD（答案不唯一）
典题精讲
2 下列命题中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D
探索新知
2
知识点
由边的数量关系判定菱形
议一议
已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？
如图，分别以A，C为圆心，以大于 AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？
与同伴交流．
定理：四边相等的四边形是菱形.
请你完成这个定理的证明.
探索新知
例1 已知：如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝ ，OA＝2，OB＝1. 求证： ABCD是菱形．
在△AOB中，
∵AB＝ ，OA＝2，OB＝1，
∴AB2＝AO2＋OB2.
∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．
证明：
探索新知
总 结
1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.
2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平
行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四
边形的四条边都相等．
典题精讲
1 做一做
你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！
先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，
将纸展开，就得到了一个菱形．
你能说说小颖这样做的道理吗？
典题精讲
2 如图，在 ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使 ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(　　)
A．AB＝AD
B．AC⊥BD
C．AC＝BD
D．∠BAC＝∠DAC
C
学以致用
小试牛刀
1．对角线____________的平行四边形是菱形；对角线互相垂直平分的________是菱形．
互相垂直
四边形
2．有__________________的平行四边形是菱形；四边相等的________是菱形．
一组邻边相等
四边形
3．如图，在四边形ABCD中，
对角线AC，BD交于点O，
OA＝OC，OB＝OD，
添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是________(写出一个即可)
AC⊥BD
(答案不唯一)
小试牛刀
4．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(　　)
A．AB＝BC
B．AC，BD互相平分
C．AC＝BD
D．AB∥CD
B
小试牛刀
5．如图，点E，F，G，H分别是任意四边形ABCD中AD，BD，BC，CA的中点，当四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD的边至少满足条件(　　)
A．AB＝AD B．AB＝BC
C．AB＝CD D．BC＝CD
C
小试牛刀
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
B
小试牛刀
7．如图，四边形ABCD的对角线相交于O点，AD＝BC，作AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，且DE＝BF，则下列结论：
①AE＝CF；②AO＝CO；③AC＝EF；④AC⊥EF；
⑤四边形AECF是菱形；⑥四边形ABCD为平行四边形；
其中正确结论的个数为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
B
小试牛刀
8．如图，在 ABCD中，边AB的垂直平分线交AD于点E，交CB的延长线于点F，垂足为点G.连接AF，BE.
(1)求证：△AGE≌△BGF；
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠AEG＝∠BFG.
∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG.
在△AGE和△BGF中，
∠AEG＝∠BFG，
∠AGE＝∠BGF，
AG＝BG，
∴△AGE≌△BGF(AAS)．
证明：
小试牛刀
(2)试判断四边形AFBE的形状，并说明理由．
四边形AFBE是菱形，理由如下：
∵△AGE≌△BGF，∴AE＝BF.
又∵AD∥FC，
∴四边形AFBE是平行四边形．
又∵EF⊥AB，∴四边形AFBE是菱形．
解：
小试牛刀
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， 点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接CE，AF.
(1)证明：AF＝CE；
∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，且DE＝ AC.
∴AC＝2DE.∵EF＝2DE，
∴EF＝AC.又∵EF∥AC，
∴四边形ACEF是平行四边形．
∴AF＝CE.
证明：
课堂小结
课堂小结
1.菱形的判定方法：
(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

课堂小结
平行四边形
四边形
菱形
2、判定菱形的常见思路：
四条边都相等
判定条件
对角线互相垂直
一组邻边相等
同学们，
下节课见！
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