北师大版（新）九上-1.1 菱形的性质与判定 第三课时【优质课件】

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1.1 菱形的性质与判定
第3课时
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菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：
(1)从边看：对边平行，四边相等；
(2)从角看：对角相等，邻角互补；
(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．
新课精讲
探索新知
1
训练角度
利用菱形的性质与判定判断图形的形状
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.
(1)求证：四边形AECD是菱形；
(2)若点E是AB的中点，试判断
△ABC的形状，并说明理由．
探索新知
(1) ∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∠DAC＝∠ACE.
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠DAC.
∴∠EAC＝∠ACE.
∴AE＝CE.
∴四边形AECD是菱形．
证明：
(2)△ABC是直角三角形，理由如下：
∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.
∵AE＝CE，∴CE＝BE.
∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，
∠EAC＝∠ACE，
∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
探索新知
2
训练角度
利用菱形的性质与判定证明线段的关系
2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD， BD＝AC.
(1)求证：AD＝BC；
(2)若E，F，G，H分别是
AB，CD，AC，BD的
中点，求证：线段EF
与线段GH互相垂直平分．
探索新知
(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，
则∠ACD＝∠M.　
∵AB∥CD，
∴四边形ABMC为平行四边形．
∴AC＝BM.
∵AC＝BD，∴BD＝BM.
∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.　
又∵CD＝DC，
∴△ACD≌△BDC. ∴AD＝BC.
证明：
探索新知
(2)如图，连接EH，HF，FG，GE，
∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，
∴HE∥AD，且HE＝ AD，FG∥AD，
且FG＝ AD，EG＝ BC.
∴HE∥FG，HE＝FG.
∴四边形HFGE为平行四边形．
由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.
∴ HFGE为菱形．
∴线段EF与线段GH互相垂直平分．
探索新知
3
训练角度
利用菱形的性质与判定求线段长
3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．
(1)证明：四边形AECF为菱形；
(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，
求线段OF的长．
探索新知
(1) 因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，
所以AC应是EF的中垂线．
所以CE＝CF，AE＝AF.
又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，
所以AE＝CE.
所以AE＝AF＝CE＝CF.
所以四边形AECF是菱形．
证明：
探索新知
(2)因为四边形AECF是菱形，
所以OA＝OC，OE＝OF.
因为点E是AB的中点，
所以EO是△ACB的中位线．
所以EO＝ BC＝5.
所以OF＝5.
解：
探索新知
4
训练角度
利用菱形的性质与判定解决面积问题
4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分
∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，
过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，
交AB于点M，连接ME.
(1)求证：四边形AEPM为菱形．
(2)当点P在何处时，菱形AEPM
的面积为四边形EFBM面积的
一半？请说明理由．
探索新知
(1)∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD.
∵EP∥AB，
∴∠BAD＝∠EPA.
∴∠CAD＝∠EPA.
∴EA＝EP.
∴四边形AEPM为菱形．
证明：
探索新知
解：
(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝ S四边形EFBM.
理由如下：∵四边形AEPM为菱形，
∴AP⊥EM. ∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，
∴AD⊥BC. ∴EM∥BC. 又∵EF∥AB，
∴四边形EFBM为平行四边形．
过点E作EN⊥AB于点N，如图，
∵EP＝ EF，
∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝ EF·EN
＝ S四边形EFBM .
学以致用
小试牛刀
1．已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.
(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
解：AE＝EF＝AF.
小试牛刀
(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B，C重合)，求证：BE＝CF；
证明：连接AC，如图所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠D＝60°.
∴△ABC，△ACD是等边三角形．
小试牛刀
∴△ABC，△ACD是等边三角形．∴AB＝AC，
∠ABC＝∠BAC＝∠ACF＝60°.
∵∠BAE＋∠EAC＝∠BAC＝60°，∠CAF＋∠EAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF.
在△ABE和△ACF中，
∠ABE＝∠ACF，
AB＝AC，
∠BAE＝∠CAF，
∴△ABE≌△ACF(ASA)．
∴BE＝CF.
小试牛刀
(3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．
解：过点A作AG⊥CE于点G，过点F作FH⊥CE于点H，如图所示．
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，
∴∠AEG＝45°，∠BAG＝30°.
易得△AEG为等腰直角三角形．
小试牛刀
∵AB＝4，∴BG＝2，AG＝2 .
∴AG＝EG＝2 .
此时BE＝EG－BG＝2 －2.
又易知△ABE≌△ACF，
∴CF＝BE＝2 －2.
易知∠BCD＝120°，∴∠BCF＝60°.
∴∠CFH＝30°.
小试牛刀
小试牛刀
2．如图，在 ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
折痕交CD边于点E.
小试牛刀
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB.∴∠DEA＝∠EAD′.
由折叠可知∠DAE＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠DEA.∴DE＝DA＝1.
由折叠可知AD′＝AD＝1，
ED′＝ED＝1.
证明：
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝2，BC＝AD＝1.
∴BD′＝AB－AD′＝2－1＝1，
EC＝DC－DE＝2－1＝1.
∴EC＝BC＝BD′＝ED′＝1.
∴四边形BCED′是菱形．
小试牛刀
(2)若点P是直线l上的一个动点,请计算PD′＋PB的最小值．
解：由折叠可知点D和点D′关于直线l对称，连接BD交直线l于点P，连接PD′，
此时PD′＋PB的值最小，
其最小值为线段BD的长.
过点D作DF⊥AB，垂足为F(如图)．
小试牛刀
∵DC∥AB，DF⊥AB，∴DF⊥DC.
∵∠ADC＝60°，∴∠ADF＝30°.
小试牛刀
小试牛刀
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE.
证明：在△ABC和△ADC中，
∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)．
小试牛刀
∴∠BAC＝∠DAC.
在△ABF和△ADF中，
∵AB＝AD，∠BAF＝∠DAF，AF＝AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS)．
∴∠AFB＝∠AFD.
∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE.
小试牛刀
(2)若AB∥CD，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠ACD.∴AD＝CD.
又∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AB＝CB＝CD＝AD. ∴四边形ABCD是菱形．
小试牛刀
(3)在(2)的条件下，当BE与CD满足怎样的位置关系时，∠EFD＝∠BCD？请说明理由．
解：当BE⊥CD时，
∠EFD＝∠BCD.
理由：∵四边形ABCD为菱形，
∴∠BCF＝∠DCF. 在△BCF和△DCF中，
CB＝CD，∠BCF＝∠DCF，CF＝CF，
∴△BCF≌△DCF(SAS)． ∴∠CBF＝∠CDF.
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°.
∴∠EFD＝∠BCD.
同学们，
下节课见！
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