北师大版（新）九上-1.2 矩形的性质与判定 第二课时【优质课件】

(共30张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
做一做
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
新课精讲
探索新知
1
知识点
由对角线关系判定矩形
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
请完成该定理的证明：
探索新知
知识点
例1　如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
解：
典题精讲
1
如图，在 ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
EB＝DC
典题精讲
2
下列关于矩形的说法中正确的是(　　)　
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
B
典题精讲
3
已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(　　)
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
D
探索新知
2
知识点
由直角的个数判定矩形
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
探索新知
例2 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= ∠BAC，∠CAN＝ ∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝ (∠BAC＋∠CAM)
＝ ×180°＝90°
在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
典题精讲
1
数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(　　)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是否都为直角
D
典题精讲
2
议一议
你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．
学以致用
小试牛刀
1．对角线________的平行四边形是矩形；
对角线________且____________的四边形是矩形．
相等
相等
互相平分
2．有一个角是直角的____________是矩形；
有三个角是________的________是矩形．
平行四边形
直角
四边形
3．在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD是矩形的是(　　)
A．AB＝AD B．OA＝OB
C．AC＝BD D．DC⊥BC
A
小试牛刀
4．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件可以是(　　)
A．AB＝CD
B．AD＝AC
C．AB＝BC
D．AC＝BD
D
小试牛刀
5．下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内；
②有一个角是直角的四边形是矩形；
③两边及一角对应相等的两个三角形全等；
④一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A
小试牛刀
6．如图，在矩形ABCD中，AB＞BC，点E，F，G，H分别是边DA，AB，BC，CD的中点，连接EG，FH，则图中矩形的个数共有 (　　)
A．5个 B．8个
C．9个 D．11个
C
小试牛刀
7．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点(与 B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是(　　)
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
D　
小试牛刀
8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD. 求证：四边形AODE是矩形．
证明：∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.
∴四边形AODE是矩形．
小试牛刀
9．如图，DB∥AC，且DB＝AC，E是AC的中点．
(1)求证：BC＝DE.
∵E是AC的中点，∴EC＝ AC.
∵DB＝ AC，∴DB＝EC.
又∵DB∥EC，
∴四边形DBCE是平行四边形．
∴BC＝DE.
证明：
小试牛刀
(2)连接AD，BE，若要使四边形DBEA是矩形，则需给△ABC添加什么条件，为什么？
添加AB＝BC.
理由：如图，∵E是AC的中点，
∴AE＝ AC.∵DB＝ AC，
∴DB＝AE.又∵DB∥AE，
∴四边形DBEA是平行四边形．
∵BC＝DE，AB＝BC，∴AB＝DE.
∴ DBEA是矩形．
解：
小试牛刀
10．(中考·日照)如图，已知BA＝AE＝DC，
AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
证明：在△DCA和△EAC中，
DC＝EA，AD＝CE，
AC＝CA，
∴△DCA≌△EAC(SSS)．
小试牛刀
11．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.
(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长．
∵EF交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF.
∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
∴∠OEC＝∠OCE，∠OFC＝∠OCF.
解：
小试牛刀
∴OE＝OC，OF＝OC. ∴OE＝OF.
∵∠OCE＋∠BCE＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF＝90°.
在Rt△CEF中，由勾股定理，
得EF＝ ＝10，
∴OC＝OE＝ EF＝5.
小试牛刀
(2)连接AE，AF.问：当点O在
边AC上运动到什么位置时，
四边形AECF是矩形？并说明理由．
当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠ECF＝90°，
∴ AECF是矩形．
课堂小结
课堂小结
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
同学们，
下节课见！
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