北师大版（新）九上-1.2 矩形的性质与判定 第三课时【优质课件】

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1.2 矩形的性质与判定
第3课时
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1．对角线________的平行四边形是矩形；
对角线________且____________的四边形是矩形．
相等
相等
互相平分
2．有一个角是直角的____________是矩形；
有三个角是________的________是矩形．
平行四边形
直角
四边形
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
题型
利用矩形的判定和性质解和差问题
如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．
探索新知
(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.
∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，
∴四边形BDFH是矩形．
∴BD＝HF.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEB＝∠PFC＝90°.
∴∠EPB＝∠FPC.
证明：
探索新知
又∵∠HPB＝∠FPC，
∴∠EPB＝∠HPB.
∵PE⊥AB，PH⊥BH，
∴∠PEB＝∠PHB＝90°.
又∵PB＝PB，
∴△PEB≌△PHB. 则PE＝PH.
∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.
即BD＝PE＋PF.
探索新知
(2)不成立，PE＝BD＋PF.
理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.
与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.
∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.
解：
探索新知
如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接
AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：
四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD
是等边三角形，且边长为4，
求四边形ABFC的面积．
2
题型
利用矩形的判定和性质解面积问题
探索新知
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠ABE＝∠ECF.
又∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE.
又∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE.
∴AB＝CF.
证明：
又AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∴AE＝EF.
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.
又∵∠AEC＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.
∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.
∴四边形ABFC为矩形．
探索新知
(2)∵四边形ABFC是矩形，
∴AC⊥DF.
又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，
∴CF＝CD＝ ＝2.
∴AC＝
∴S矩形ABFC＝
解：
探索新知
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.
求证：四边形AODE是矩形．
3
题型
利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠AOD＝90°.
∴四边形AODE是矩形．
证明：
探索新知
如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，并说明理由．
4
题型
利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系
探索新知
MN⊥CD. 理由如下：
如图，连接ND，NC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，
∴ND＝ AB.同理可证NC＝ AB.
∴ND＝NC. ∴△NDC是等腰三角形．
在等腰三角形NDC中，
∵M是CD的中点，
∴MN⊥CD.
解：
探索新知
阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD 的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
5
题型
利用矩形、菱形的判定探究条件
探索新知
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
点E，F分别是AB，BC的中点
EF∥GH
EF＝ AC
点G，H分别是CD，AD的中点
GH∥AC
GH＝ AC
EF∥GH
EF＝GH
四边形EFGH
是平行四边形
探索新知
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并说明理由．
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．直接写出结论．
探索新知
(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝ AC.
∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH∥AC, GH＝ AC.
∴EF∥GH，EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
解：
探索新知
(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，
当AC＝BD时，FG＝ BD，EF＝ AC，
∴ FG＝EF.
∴四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，
探索新知
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.
∵G，F分别是CD，BC的中点，
∴FG∥BD.
∵EF⊥BD，
∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
探索新知
已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
6
题型
利用矩形的性质探究动点问题
探索新知
(1)如图①，当点P为线段EC的中点时，
求证：PR＋PQ＝
(2)如图②，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点
C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成
立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图③，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其
他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想．
探索新知
(1)连接BP，作CH⊥BD于点H.
∵BE＝BC，点P为CE的中点，
∴BP是∠EBC的平分线．
∵PR⊥BE，PQ⊥BC，
∴PR＝PQ.
在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
BC＝4，CD＝AB＝3，
∴
证明：
探索新知
由S△BCD＝ BC·CD＝ BD·CH，
得CH ＝
∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，
∴
又∵BE＝BC，
∴PR＋PQ＝
探索新知
(2)(1)中结论PR＋PQ＝ 仍成立．
证明：连接BP，作CH⊥BD于H.
∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，
∴
又∵BE＝BC，
∴PR＋PQ＝CH. 而CH＝
∴PR＋PQ＝
∴(1)中结论成立．
(3)猜想：PR－PQ＝
解：
解：
学以致用
小试牛刀
1．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(　　)
A．4.8 B．5
C．6 D．7.2
A
小试牛刀
2．下列关于矩形的说法中正确的是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
B
小试牛刀
3．下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内；
②有一个角是直角的四边形是矩形；
③两边及一角对应相等的两个三角形全等；
④一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
A
小试牛刀
4．已知 ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是(　　)
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
C
小试牛刀
5．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH成为矩形，应添加的条件是(　　)
A．AB∥DC
B．AC＝BD
C．AC⊥BD
D．AB＝DC
C
小试牛刀
6．如图，分别以△ABC的三边为一边在BC的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF.请解答下列问题：当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝
360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，
四边形ADEF是矩形．
小试牛刀
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°.
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°－∠DAB－∠FAC－∠DAF＝
360°－60°－60°－90°＝150°.
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，
四边形ADEF是矩形．
小试牛刀
7．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
(1)求证：四边形AECF是
平行四边形；
小试牛刀
由题意可得AM＝AB，CN＝CD，∠FNC＝∠D＝90°，∠AME＝∠B＝90°.∴∠ANF＝90°，∠CME＝90°.
∴∠ANF＝∠CME.
∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD∥BC.
∴AM＝CN，∠FAN＝∠ECM.
∴AM－MN＝CN－MN，即AN＝CM.
证明：
小试牛刀
在△ANF和△CME中，
∠FAN＝∠ECM，
AN＝CM，
∠ANF＝∠CME，
∴△ANF≌△CME(ASA)．
∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形．
小试牛刀
8．如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AC上的一 点，BD＝DC，P是BC上的任意一点，PE⊥BD，PF⊥AC，E，F为垂足．试判断线段PE，PF，AB之间的数量关系，并说明理由．
小试牛刀
PE＋PF＝AB.
理由：过点P作PG⊥AB于G，交BD于O，如图所示．
∵PF⊥AC，∠A＝90°，
∴∠A＝∠AGP＝∠PFA＝90°.
∴四边形AGPF是矩形．
∴AG＝PF，PG∥AC.
解：
小试牛刀
又∵BD＝DC，∴∠C＝∠GPB＝∠DBP. ∴OB＝OP.
∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO＝∠PEO＝90°.
在△BGO和△PEO中，
∠BGO＝∠PEO，
∠GOB＝∠EOP，
OB＝OP，
∴△BGO≌△PEO.∴BG＝PE.
∵AB＝BG＋AG，∴PE＋PF＝AB.
同学们，
下节课见！
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