北师大版（新）九上-1.2 矩形的性质与判定 第一课时【优质课件】

(共36张PPT)
1.2 矩形的性质与判定
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课精讲
探索新知
1
知识点
矩形的定义
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．
探索新知
例1 如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形吗 简述你的理由．
分析：很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
解：四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
探索新知
总 结
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明
四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个
角是直角.
典题精讲
下列说法正确的是(　　)
A．平行四边形是矩形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
　
B
探索新知
2
知识点
矩形的边角性质
想一想
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性
质．你能列举一些这样的性质吗？
(2)矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些
特殊的性质？与同伴交流．
矩形是轴
对称图形.
探索新知
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的
对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
探索新知
归 纳
矩形的性质：
(1)矩形的四个角都是直角．
(2)矩形具有平行四边形的所有性质．
(3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
典题精讲
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(　　)
A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD
D．△AOD≌△BOC
A
探索新知
3
知识点
矩形的对角线性质
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
典题精讲
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对角相等
B．对角线相等
C．对边相等
D．对角线互相平分
B
探索新知
4
知识点
直角三角形斜边上中线的性质
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
探索新知
1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2、请你完成这个定理的证明.
3、总结：(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”是解决线段倍分问题的重要依据；
(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；
(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平方和等于斜边平方．
探索新知
例2　如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，
OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD(矩形的对角线互相平分)．
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝ (180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
你还有其他解法吗？
典题精讲
1
如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为(　 　)
A．14
B．16
C．17
D．18
D
典题精讲
2
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为(　　)
A．4
B．8
C．2
D．4
D
学以致用
小试牛刀
1．有一个角是_______的平行四边形是矩形，它包含两层含义：一是____________＋一直角可得矩形；二是矩形一定是____________且有一个角是_____.
直角
平行四边形
平行四边形
直角
2．矩形的四个角都是_________；矩形的对边________且________．
直角
平行
相等
3．矩形的对角线________且____________，它的两条对角线把矩形分成________个等腰三角形．
相等
互相平分
4
小试牛刀
4．根据矩形的两条对角线相等且互相平分，将矩形沿一条对角线切去一半后，可得出直角三角形斜边上的中线__________________．
等于斜边的一半
5．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB＝30°，AB＝4，则OC等于 (　　)
A．5 B．4
C．3.5 D．3
B
小试牛刀
6．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是(　　)
A．AB＝CD　　
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
D
小试牛刀
7．如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(　　)
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝ AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
B
小试牛刀
8．在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图．该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，
F是CE上一点，∠ACF＝∠AFC，
∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，
则∠ECD的度数是(　　)
A．7° B．21° C．23° D．24°
C
小试牛刀
9．如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，在△BCD中，∠DBC＝90°，
∠BCD＝60°，DC的中点为E，
AD与BE的延长线交于点F，
则∠AFB的度数为(　　)
A．30° B．15°
C．45° D．25°
B
小试牛刀
10．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是 AD，BC的中点，CE，AF分别交BD于G，H两点．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴AE＝ AD，CF＝ BC.
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形．
证明：
小试牛刀
（2）求证：EG＝FH.
证明：∵四边形AFCE是平行四边形，∴CE∥AF.
∴∠DGE＝∠AHD＝∠BHF.
∵AD∥BC，∴∠EDG＝∠FBH.
∵DE＝ AD，BF＝ BC，AD＝BC，∴DE＝BF.
在△DEG和△BFH中，
∠DGE＝∠BHF，
∠EDG＝∠FBH，
DE＝BF，
∴△DEG≌△BFH(AAS)． ∴EG＝FH.
小试牛刀
11．如图，在矩形ABCD中，∠ABD，∠CDB的平分线BE，DF分别交边AD，BC于点E，F.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AD∥BC. ∴∠ABD＝∠CDB.
∵BE平分∠ABD、DF平分∠BDC，
∴∠EBD＝ ∠ABD， ∠FDB＝ ∠BDC.
∴∠EBD＝∠FDB.∴BE∥DF. 又∵AD∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形．
证明：
小试牛刀
当∠ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由．
解：当∠ABE＝30°时，四边形BEDF是菱形．
理由：∵BE平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°，∠EBD＝∠ABE＝30°.
∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°.
∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°.
∴∠EDB＝∠EBD＝30°. ∴EB＝ED.
又∵四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形．
小试牛刀
12．如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.
(1)求证：△ACD≌△EDC；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.
由平移的性质得DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°， ∴AD＝EC，∠ADC＝∠ECD.
在△ACD和△EDC中，
AD＝EC，
∠ADC＝∠ECD，
CD＝DC，
∴△ACD≌△EDC(SAS)．
小试牛刀
(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．
△BDE是等腰三角形．
理由如下：
∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE.
∴△BDE是等腰三角形．
解：
课堂小结
课堂小结
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
同学们，
下节课见！
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