北师大版（新）九上-1.3 正方形的性质与判定 第二课时【优质课件】

(共27张PPT)
1.3 正方形的性质与判定
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？
新课精讲
探索新知
1
知识点
正方形的对称性
正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.
探索新知
知识点
例1 如图, 正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点， BE=1，F为AB上的一点，AF =2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______.
导引:找到点F关于直线AC的对称点M，连接
EM, 计算EM的长即可. 如图, 在AD上
取一点M，使AM=2, 点M即为点F关于
直线AC的对称点. 连接EM，过M点作
MN⊥BC于N，由题意可知EN = BN－
BE =AM－BE=2－1，易得MN＝4，
∴EM＝
探索新知
总 结
正方形是特殊的平行四边形，正方形关于它的
对角线所在直线对称. 求两线段和的最小值，往往
要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，
通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.
探索新知
2
知识点
正方形的判定
议一议
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．
探索新知
1.正方形的判定定理：
（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.
（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.
（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.
（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.
请你证明以上定理.
探索新知
2.判定方法：
(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是
正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．
(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的
平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形
是正方形．
(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互
相垂直的矩形是正方形．
(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相
等的菱形是正方形．
探索新知
例2　已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

证明：
∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝45°，∠ECB＝ ∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB. ∴EB＝EC.
探索新知
∴ BECF是菱形(菱形的定义)．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是
正方形)．
典题精讲
1
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
不添加任何辅助线，请添加一个条件_____________
_____________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)
∠BAD＝90°
（答案不唯一）
典题精讲
2
在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有(　　)
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
B
学以致用
小试牛刀
1．正方形是________对称图形，它有______条对称轴．若正方形的边长为A，则它的对角线长为________，面积为________．
轴
4
a
a2
2．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，则图中阴影部分的面积为________．
8 cm2
小试牛刀
3．如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，
则菱形的边长为________．
13 cm
4．在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是________．
①③④　
小试牛刀
具体判定方法如下：
对角线互相垂直的________是正方形；
对角线相等的________是正方形；
对角线互相垂直且相等的____________是正方形；
有一个角是直角的________是正方形；
有一组邻边相等的________是正方形．
矩形
菱形
平行四边形
菱形
矩形
5．判定一个四边形是正方形，就要判定它既是______，又是________．
矩形
菱形
小试牛刀
6．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，E为AC的中点，Rt△FEG的两条直角边EF，EG分别交BC，DC于点M，N.若正方形ABCD的边长为a，则阴影部分即四边形EMCN的面积为(　　)
A. a2 B. a2
C. a2 D. a2
B
小试牛刀
7．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(　　)
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
B
8．将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　)
A．2 cm2 B．4 cm2
C．6 cm2 D．8 cm2
B
小试牛刀
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，连接CE，CF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是(　　)
A．BC＝AC　B．CF⊥BF　
C．BD＝DF　D．AC＝BF
D
小试牛刀
10．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角
线BD上一点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
在△ADE与△CDE中，
AD＝CD，
DE＝DE，
EA＝EC，
∴△ADE≌△CDE.
∴∠ADE＝∠CDE.
证明：
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.
∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.
∵AD＝CD，∴BC＝AD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．
小试牛刀
(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．
∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.
∵∠CBE?∠BCE＝2?3，
∴∠CBE＝180°× ＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.
∴四边形ABCD是正方形．
证明：
课堂小结
课堂小结
正方形的判定：

平行四边形
矩形
菱形
正方形
一组邻边相等
一个内角是直角
一组邻边相等
对角线垂直
对角线相等
一个内角为直角
同学们，
下节课见！
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