北师大版（新）九上-1.3 正方形的性质与判定 第三课时【优质课件】

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1.3 正方形的性质与判定
第3课时
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正方形是________对称图形，它有______条对称轴．若正方形的边长为A，则它的对角线长为________，面积为________．
轴
4
a
a2
回顾旧知
新课精讲
探索新知
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF
于点M.求证：AM⊥DF.
1
类型
利用正方形的性质证明线段位置关系
探索新知
∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，
∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∵DE＝CF，
∴OE＝OF.在△AOE与△DOF中，
OA＝OD，
∠AOE＝∠DOF＝90°，
OE＝OF，
∴△AOE≌△DOF.
证明：
探索新知
∴∠OAE＝∠ODF.
∵∠DOF＝90°，
∴∠DFO＋∠FDO＝90°.
∴∠DFO＋∠FAE＝90°.
∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.
探索新知
2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(1)写出线段AG，GE，GF长度之间
的等量关系，并说明理由；
2
类型
利用正方形的性质求线段的大小关系
探索新知
AG2＝GE2＋GF2.理由如下：
如图，连接GC，由正方形的性质知AD＝CD，
∠ADG＝∠CDG.在△ADG和△CDG中，
AD＝CD，
∠ADG＝∠CDG，
GD＝GD，
所以△ADG≌△CDG.
探索新知
所以AG＝CG.
由题意知∠GEC＝∠GFC＝∠DCB＝90°.
所以四边形GFCE为矩形，
CG2＝CF2＋GF2.所以GE＝FC.
又因为AG＝CG，
所以AG2＝GE2＋GF2.
探索新知
2．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.
(2)若正方形ABCD的边长为1，
∠AGF＝105°，求线段BG的长．
探索新知
如图，作AH⊥BD于点H，由题意易知∠AGB＝60°，∠ABG＝45°，所以∠BAH＝45°＝∠ABG，
∠GAH＝30°.所以AH＝BH，AG＝2HG.
因为AB＝1，所以在Rt△ABH中，
由勾股定理可得AH＝BH＝ .
在Rt△AGH中，由勾股定理可得
HG＝ .所以BG＝ .
探索新知
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CE＝2DE.将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.
3
类型
利用正方形的性质解决相关问题
探索新知
下列结论：
①△ABG≌△AFG； ②BG＝GC；
③EG＝DE＋BG； ④AG∥CF；
⑤S△FGC＝3.6.
其中正确结论的个数是(　　)
A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5
D
探索新知
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，
其终点分别是B，C，D，A.
(1)不管滚动多长时间，求证：连接四
个小球所得的四边形PQRS总是正方形；
4
类型
正方形性质与判定的综合运用
探索新知
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.
又∵在任何运动时刻，AP＝BQ＝CR＝DS，
∴PB＝QC＝RD＝SA.
∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.
∴PS＝QP＝RQ＝SR，∠ASP＝∠BPQ.
∴在任何运动时刻，四边形PQRS是菱形．
证明：
探索新知
又∵∠APS＋∠ASP＝90°，
∴∠APS＋∠BPQ＝90°.
∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)
＝180°－90°＝90°.
∴在任何运动时刻，四边形PQRS总是正方形．
探索新知
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，
其终点分别是B，C，D，A.
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
当P，Q，R，S在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD的面积．
解：
学以致用
小试牛刀
1．下列命题中，真命题是(　　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C
小试牛刀
2．关于 ABCD的叙述，正确的是 (　　)
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
C
小试牛刀
3．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，连接EF，交AD于O，则下列结论：
①OA＝OD；②AD⊥EF；
③AE＋DF＝AF＋DE；
④当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是正方形．其中一定正确的是(　　)
A．①②③　 B．②③④　 C．①③④　 D．①②③④
B
小试牛刀
4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，
且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形．
连接AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，
∠DAQ＝∠B＝45°.
在△BPD和△AQD中，
证明：
小试牛刀
∵BD＝AD，∠B＝∠DAQ，BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD.
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP.
∵∠BDP＋∠ADP＝90°，
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，
即∠PDQ＝90°. ∴△PDQ是等腰直角三角形．
小试牛刀
5．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点P，Q分别是AB，AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(2)当点P运动到什么位置时，
四边形APDQ是正
方形？请说明理由．
小试牛刀
当点P运动到AB的中点时,四边形APDQ是正方形．
理由：由(1)知，AD⊥BC，AD＝BD，
∴△ABD是等腰直角三角形．当P为AB的中点时，PD⊥AB，即∠APD＝90°，
又∠BAC＝∠PDQ＝90°，∴四边形APDQ是矩形．
又PD＝QD， ∴四边形APDQ是正方形．
解：
小试牛刀
6．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
(1)如图①，等腰直角四边形ABCD，
AB＝BC，∠ABC＝90°.
①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长；
②若AC⊥BD，求证：AD＝CD.
小试牛刀
∵AB＝CD＝1，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．
又∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是正方形．
∴BD＝ .
①解：
小试牛刀
如图①，连接AC，BD，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD.
∴AD＝CD.
②证明：
小试牛刀
(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直
角四边形，求AE的长．
(提示：在形如 的图形中，
若AB∥CD，则 )
小试牛刀
若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，
AB≠BF，AB≠AE，
∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件．
若EF与BC不垂直．
①当AE＝AB＝5时，如图②，
此时四边形ABFE是等腰直角四边形．
解：
小试牛刀
②当BF＝AB时，如图③，此时四边形ABFE是等腰直角四边形．
∴BF＝AB＝5.∵DE∥BF，
∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2.
∴DE＝2.5. ∴AE＝9－2.5＝6.5.
综上所述，AE的长为5或6.5.
同学们，
下节课见！
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