北师大版（新）九上-1.3 正方形的性质与判定 第一课时【优质课件】

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1.1 正数和负数
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
新课精讲
探索新知
1
知识点
正方形的定义
正方形的定义：
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.
典题精讲
下面四个定义中不正确的是(　　)
A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形
C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
B
探索新知
2
知识点
正方形的性质
议一议
(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？
(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．
正方形的性质：
具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；
探索新知
知识点
例1 如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF . BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，
四个角都是直角)．
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.
探索新知
(2)延长BE交DF于点M(如图)．
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°.
∴∠CBE＋∠F＝90°.
∴∠BMF＝90°.
∴BE⊥DF.
探索新知
例2 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交AO于F，求证：EF∥AB.
要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，
∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，
即要证明OE＝OF，而OE＝OF可
通过证明△AEO≌△DFO获得．
导引：
探索新知
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.
又∵DG⊥AE，
∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.
∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.
∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.
∴∠OEF＝45°. ∴∠OEF＝∠OBA.
∴EF∥AB.
证明：
探索新知
总 结
通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．
探索新知
知识点
议一议
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．
平行四边形
矩形
菱形
正方形
解：
典题精讲
1 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　　)
A．四个角都相等
B．四条边相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
B
典题精讲
2
如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH. 若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(　　)
A．3　　　 B．4　　　
C．5　　　 D．6
B
探索新知
例3 如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．
线段BE是Rt△ABE的一边，但由于
AE未知，不能直接用勾股定理求BE，
由条件可证△ABE≌△AFE，问题转
化为求EF的长，结合已知条件易获解．
导引：
（正方形角的性质）
探索新知
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.
∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴AB＝AF＝1 cm，BE＝EF，∴FC＝BE.
在Rt△ABC中，AC
∴FC＝AC－AF＝( －1)(cm)，∴BE＝( －1) cm.
解：
探索新知
总 结
解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边
相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正
方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解
决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．
典题精讲
1 如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图中的全等三角形共有(　　)
A．2对
B．3对
C．4对
D．5对
C
学以致用
小试牛刀
1．有一组________相等，并且有一个角是________的平行四边形是正方形，因此正方形既是________，又是________．
邻边
直角
菱形
矩形
2．正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的______、特殊的______，因此它具有矩形、菱形的性质．边：四条边都______，对边平行．角：四个角都是______．对角线：对角线_________、____、________，并且每一条对角线平分一组对角．
矩形
菱形
相等
直角
互相平分
垂直
相等
小试牛刀
3．如图，BD为正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到F，使CF＝CE，连接DF.若CE＝1 cm，则BF＝___________________．
(2＋2 ) cm
小试牛刀
4．已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方 形，那么这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90°　 B．AB＝CD　
C．AD＝BC　 D．BC＝CD
D
5．下列说法错误的是(　　)
A．正方形是平行四边形 B．正方形是菱形
C．正方形是矩形 D．菱形和矩形都是正方形
D
小试牛刀
6．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个大矩形的面积，则n的最小值是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
A
小试牛刀
7．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC等于(　　)
A．45° B．55°
C．60° D．75°
C
8．正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
B
小试牛刀
9．如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(　　)
A
小试牛刀
10．我们知道：四边形具有不稳定性．如 图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为(　　)
A．( ，1) B．(2，1)
C．(1， ) D．(2， )
D
小试牛刀
11．如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G. 求证：BE＝AF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠CBE＝90°. ∵BF⊥CE，
∴∠BCE＋∠CBG＝90°.
∵∠ABF＋∠CBG＝90°，
∴∠BCE＝∠ABF.
证明：
小试牛刀
在△BCE和△ABF中，
∠BCE＝∠ABF，
BC＝AB，
∠CBE＝∠A，
∴△BCE≌△ABF(ASA)．
∴BE＝AF.
小试牛刀
12．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
(1)求证：四边形BEDF是菱形；
证明：如图，连接BD交AC于O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OE＝OF.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.∴四边形BEDF是菱形．
小试牛刀
(2)若正方形的边长为4，AE＝ ，求菱形BEDF的面积．
解：
课堂小结
课堂小结
正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．

同学们，
下节课见！
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