人教版数学九年级上册 21.2.3 公式法 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
21.2 解一元二次方程
第1课时
配方法、公式法
1．直接开平方降次法
根据平方根的定义，把一个一元二次方程______，转化为
________一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的
方程，其解为____________．
降次
两个
注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：
x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)；
a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且 a≠0)．
2．配方法
通过配成________________来解一元二次方程的方法叫做
配方法．配方是为了________ ，把一个一元二次方程转化为
__________________来解．
注意：配方法的一般步骤：
①把常数项移到等号的右边；
②把二次项的系数化为 1；
③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
完全平方形式
降次
两个一元一次方程
3．公式法
探究：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证
明它的两个根为
证明：移项，得
ax2＋bx＝－c
(
)←常数项移到右边
↓
直接开平方，得
(
)←把上式左边写成完全平方式
↓
(
)0←判断等式右边的符号
↓
，
↓
≥
↓
原命题得证．
归纳：由上可知，
(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的 a，b，
c 而定；
(2)式子 x＝
叫做一元二次方程的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．
注意：采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
4．一元二次方程根的判别式
由根的判别式________________的值可以直接去判断方程
根的个数情况，而不用求解方程：
当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程__________________________；
当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程__________________________；
当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程__________________________．
有两个相等的实数根
没有实数根
Δ＝b2－4ac
有两个不相等的实数根
知识点 1
直接开平方降次法
【例 1】 用直接开平方降次法解下列方程：
(1)3x2－1＝5；
(2)4(x－1)2－9＝0；
(3)4x2＋16x＋16＝9.
思路点拨：上面的方程都能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)
解：(1)3x2－1＝5 可化成 x2＝2，
【跟踪训练】
)
C
1．一元二次方程 x2－3＝0 的根为(
A．x＝3
B．x＝3
D．x1＝3，x2＝－3
2．用直接开平方降次法解下列方程：
(1)x2－16＝0；
(2)(x－2)2＝5.
解：(1)x2－16＝0，即 x2＝16.
∴x1＝4，x2＝－4.
知识点 2
配方法(重难点)
【例 2】 用配方法解下列方程：
(1)x2＋6x＋5＝0；
(2)2x2＋6x－2＝0；
(3)(1＋x)2＋2(x＋1)－4＝0.
思路点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤：
(1)化二次项系数为 1；
(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
(3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
(4)将方程变为(x＋m)2＝n 的形式；
(5)用直接开平方降次法解变形后的方程(如果右边是非负
数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一
元二次方程无解)．
解：(1)移项，得 x2＋6x＝－5.
配方，得 x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4.
两边开平方，得 x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5.
(2)移项，得 2x2＋6x＝2.
二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝1.
(3)去括号整理，得 x2＋4x－1＝0.
移项，得 x2＋4x＝1，配方，得(x＋2)2＝5.
【跟踪训练】
3．(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原
)
C
方程应变形为(
A．(x＋1)2＝6
C．(x－1)2＝6
B．(x＋2)2＝9
D．(x－2)2＝9
4．用配方法解方程：
(1)x2－4x－3＝0；
(2)4x2－7x－2＝0.
解：(1)移项，得 x2－4x＝3.
配方，得 x2－4x＋4＝3＋4，
知识点 3
公式法(重点)
【例 3】 用公式法解下列方程．
(1)2x2－4x－1＝0;
(3)(x－2)(3x－5)＝1;
(2)5x＋2＝3x2；
(4)4x2－ x＋1＝0.
思路点拨：运用公式法解一元二次方程时要注意：
(1)方程要化为一般形式；
(2)确定系数时要包含各项前面的符号；
(3)先确定判别式的符号再将其代入求根公式．
解：(1)a＝2，b＝－4，c＝－1，
b2－4ac＝(－4)2－4×2×(－1)＝24>0，
(2)将方程化为一般形式 3x2－5x－2＝0，
a＝3，b＝－5，c＝－2，
b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－2)＝49>0，
(3)将方程化为一般形式 3x2－11x＋9＝0，
a＝3，b＝－11，c＝9，
b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0，
因为在实数范围内，负数不能开平方，所以原方程无实数根．
【跟踪训练】
5．用公式法解方程 6x－8＝5x2 时，a，b，c 的值分别是
(
)
C
A．5，6，－8
C．5，－6，8
B．5，－6，－8
D．6，5，－8
6．用公式法解方程：
5x2－8＝－2x.
解：原方程可化为 5x2＋2x－8＝0.
∵a＝5，b＝2，c＝－8，
∴b2－4ac＝22－4×5×(－8)＝164>0.