北师大版（新）七上-3.5 探索与表达规律【优质课件】

(共44张PPT)
3.5 探索与表达规律
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
(1)日历图的套色方框中的9个数之和与该方框正中间的数有什么关系？
(2)这个关系对其他这样的方框成立吗？你能用代数式表示 这个关系吗？
(3)这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？
(4)你还能发现这样的方框中9个数之间的其他关系吗？用代数式表示.
新课精讲
探索新知
知识点
数式的变化规律
想一想：
(1)如果将方框改为十字形框，你能发现哪些规律？ 如果改为H形框呢？
(2)你还能设计其他形状的 包含数字规律的数框吗？
1
探索新知
对于有关数与算式的规律问题，首先要认真观察，从给出的有限的几个入手观察数与数之间的规律及算式本身存在的规律，把等式横向、纵向分别进行比较，找出其中的不变部分与变化部分、数与式子的序号之间的关系，然后找出其中的变化规律．
探索新知
例1 给出下列算式：
32－12＝8＝8×1，
52－32＝16＝8×2，
72－52＝24＝8×3，
92－72＝32＝8×4，
……
观察上面一列等式，你能发现什么规律，用代数式来表示这个规律．
探索新知
导引：观察等式，不难发现：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数，由此设n为正整数，则相邻的两个奇数为2n－1和2n＋1，它们的平方差也必是8的n倍．
解：规律是(2n＋1)2－(2n－1)2＝8n(n为正整数)．
探索新知
总 结
等式类寻找规律一般要看每项上的数与项数之间的关系，或找前后两项之间的关系．如例题中左边是连续奇数的平方差，右边是8的倍数，把左边的两项和右边的一项都用含同一个字母的代数式来表示．
探索新知
例2 任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23＝3＋5，33＝7＋9＋11，43＝13＋15＋17＋19，…，按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是(　　)
A．46 B．45 C．44 D．43
B
探索新知
总 结
因为底数是2的分裂成2个奇数，底数为3的分裂成3个奇数，底数为4的分裂成4个奇数，所以m3可分裂成m个奇数，所以，到m3的奇数的个数为：2＋3＋4＋…＋m＝n＝1 007,所以奇数2 015是从3开始的第1 007个奇数，
典题精讲
1 从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…，其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为(　　)
A．21 B．22 C．23 D．99
A
2 观察下列各数： 按你发现的规律计算这列数的第6个数为(　　)
A. B. C. D.
C
探索新知
2
知识点
图形的变化规律
下面是用棋子摆成的“小房子”.摆第10个这样的“小房子”需要多少枚棋子？摆第n个这样的“小房子”呢？你是如何得到的？
探索新知
图形中的规律探究方法通常为将图形转化为一列数，由这一列数寻找规律，或观察图形结构特点，归纳相对于某个基础图形的递推规律，从而将图形转化为一列数或等式，继而探究规律．
探索新知
例3 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成……则第n(n是正整数)个图案由________个基础图形组成．
(3n＋1)
探索新知
导引：方法一：第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成……故从第2个图案开始每个图案比它前面一个图案增加3个基础图形，因此结果为(3n＋1)个．
探索新知
方法二：
方法三：将图案分解，第n个图案，上面一排和下面一排各有n个基础图形，中间一排共有(n＋1)个基础图形，因此共有[2n＋(n＋1)]个基础图形，即(3n＋1)个基础图形．
图案序号 1 2 3 … n
基础图 形个数 4 4＋3 4＋3×2 … 4＋3(n－1)
探索新知
解决此类问题的关键是观察图形，然后运用从特殊到一般的思想去分析数量关系，从而总结规律．
总 结
探索新知
例4 如图是某月的日历，现用一方框在日历中任意框出四个数 ,请用一个等式表示a，b，c，d之间的关______________．(只要填一个即可)
a b
c d
a＋d＝b＋c
导引：根据日历中的规律：b＝a＋1，c＝a＋7，d＝a＋8来解答．
探索新知
本题运用从特殊到一般的思想．通过表中具体的数分析归纳出一般规律．本题的答案不唯一，认真观察分析，还能得出一些其他的规律，如a＋b＋14＝c＋d，c－a＝d－b等．
总 结
探索新知
例5 观察图1中的图案，判断照此规律从左向右第2 015个图案是图2中的(　　)
图2
图1
C
导引：通过观察可知图案变化以四次变化为一周期，
2 015÷4＝503……3，故选C.
探索新知
本题采用观察法，认真观察分析各图案之间的关系，再运用从特殊到一般的思想从特殊例子中找到一般规律．
总 结
典题精讲
1　观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是(　　)
A．2n＋2　　 B．4n＋4　
　C．4n－4　　 D．4n
D
典题精讲
2　用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按图中的方式铺地板，则第3个图形中有黑色瓷砖_____块，第n个图形中有黑色瓷砖_________块．
10
(3n＋1)
典题精讲
3　如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有______________个点．
(3×2n－1－1)
学以致用
小试牛刀
1．数字变化规律的解题方法：先写出数字的__________，再分析各不同部分的__________，找出各部分的特征，写出规律．
排列结构
数量关系
2．图形变化规律的解题方法：一种是数图形，先将__________转化为数字问题，再利用数字规律解决问题；另一种是通过直观观察，从图形中直接寻找规律．
图形问题
小试牛刀
3．按一定规律排列的一列数依次为 ，1， ， ， ， ，…，按此规律，这列数中的第100个数是________．
4．如图，每个表格中的四个数都是按相同规律填写的．
根据此规律确定x的值为(　　)
A．135 B．170 C．209 D．252
C
小试牛刀
5．观察如图所示的“蜂窝图”．


则第n个图案中的“ ”的个数是________(用含有n的代数式表示)．
3n＋1
小试牛刀
6．用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第2个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多4，则第n个图案中正三角形的个数为(　　)


A．2n－1 B．3n－2 C．4n＋2 D．4n－2
C
小试牛刀
7．如图，各图形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，图形中M与m，n的关系是(　　)


A．M＝mn B．M＝n(m＋1)
C．M＝mn＋1 D．M＝m(n＋1)
D
小试牛刀
8．如图所示的图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有4颗 ，第2个图形中一共有11颗 ，第3个图形中一共有21颗 ，…，按此规律排列下去，第9个图形中 的颗数为(　　)
B
A．116 B．144
C．145 D．150
小试牛刀
9．如图①是生活中常见的日历，你对它了解吗？先观察，再解答：
(1)如图②是另一个月的日历，a表示该月中某一天，b，c，d是该月中其他3天，则b，c，d与a的关系：b＝________，c＝________，d＝________．(用含a的式子填空)
a－7
a＋1
a＋5
小试牛刀
(2)用一个长方形框圈出日历中的三个数(图②中的阴影)，如果这三个数的和等于51，那么这三个数各是多少？
解：设中间的数为x，则上面的数为x－7，下面的数为x＋7.
根据题意，得(x－7)＋x＋(x＋7)＝51，
所以x＝17. 所以这三个数分别是10，17，24.
(3)这样圈出的三个数的和可能是64吗？为什么？
解：不可能是64.理由如下：
这样圈出的三个数的和是中间的数的3倍，而64不能被3整除．
小试牛刀
10．如图是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的．

(1)观察图形，填写下表：
图形序号 ① ② ③
正方形的个数 8
图形的周长 18
18
28 38
小试牛刀
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为________，周长为________；(用含n的代数式表示)
(3)这些图形中，写出任意一个图形的周长y与它所含正方形个数x之间的关系式．
5n＋3
10n＋8
解：(3)所求关系式为y＝2x＋2.
小试牛刀
11．将连续的奇数1，3，5，7，9，…按如图所示的规律排列．
(1)十字框中的五个数的平均数与15有什么关系？
解：十字框中的五个数的平均数与15相等．
小试牛刀
解：这五个数的和能等于315.设正中间的数为x，则其上面的数为x－10，下面的数为x＋10，左边的数为x－2，右边的数为x＋2.令x＋(x－10)＋(x＋10)＋(x－2)＋(x＋2)＝315，解得x＝63.所以这五个数分别是53，61，63，65，73.
(2)若将十字框上下左右平移，可框住另外五个数，这五个数的和能等于315吗？若能，请求出这五个数；若不能，请说明理由．
小试牛刀
12．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图所示方式进行拼接．
(1)若用餐的有90人，则需要这样的餐桌多少张？
解：设需要这样的餐桌x张，由题意得4x＋2＝90，解得x＝22.
答：需要这样的餐桌22张．
小试牛刀
解：1张长方形餐桌的四周可坐4＋2＝6(人)；
2张长方形餐桌拼接起来，四周可坐4×2＋2＝10(人)；
3张长方形餐桌拼接起来，四周可坐4×3＋2＝14(人)；…；
n张长方形餐桌拼接起来，四周可坐(4n＋2)人．
所以4张长方形餐桌拼接起来，四周可坐4×4＋2＝18(人)；
8张长方形餐桌拼接起来，四周可坐4×8＋2＝34(人)．
(2)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？
课堂小结
课堂小结
1. 探索规律的关键：注意观察已知的对应数值(图形)的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律．
2. 探索规律的步骤：(1)从具体的题目出发，用列表或列举的方式，把各数量或图形的变化特点展现在图表当中；(2)认真观察图表或图形，通过合理联想，大胆猜想，总结归纳，得出数字或图形间的变化规律，形成结论；(3)验证结论的正误．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）