北师大版（新）七上-5.3 应用一元一次方程——水箱变高了 第二课时【优质课件】

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5.3 应用一元一次方程——水箱变高了
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
列一元一次方程解实际问题的步骤有哪些？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
长度关系
预习准备
1、长方形的周长=_____________；面积=________ .
2、长方体的体积= ___________；正方体的体积= ________ .
3、圆的周长= _________ ；面积 = _________.
4、圆柱的体积= ____________.
（长＋宽）×2
长×宽
长×宽×高
棱长3
2π×半径
π×半径2
底面积×高
探索新知
1.等长变形是指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的物体的周长不变．
2.一般用固定长度的线段围成不同形状的图形，关键是根据周长这一固定值列方程求解．
解：设长方形的长为x厘米，则宽为 厘米．根据
题意，得 ．
解得x=18 ， ．
答：长和宽分别为18厘米，12厘米．
探索新知
例1 用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形． 使长 方形的宽是长的 ，求这个长方形的长、宽．(按长、宽的顺序填写)
探索新知
总 结
本题中总量是周长，各部分量是长方形的四条边长；按照“总量＝各部分量的和”的思路列出方程.
典题精讲
1 一个长方形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，那么这个长方形的长与宽分别是(　　)
A．9 cm，7 cm　　　　
　B．5 cm，3 cm
C．7 cm，5 cm
D．10 cm，6 cm
B
典题精讲
2 一个长方形的周长是40 cm，若将长减少8 cm，宽增加2 cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为(　　)
A．6 cm　　 B．7 cm　
　C．8 cm　　 D．9 cm
B
设正方形的边长为xcm，则长方形的长宽分别可以用x表示为（x+8）cm，（x-2）cm，
依题意得：2（x+8+x-2）=40，∴x=7，
即正方形的边长为7cm．
故选B．
典题精讲
3 一个三角形的三条边的长度之比为2:4:5，最长的边比最短的边长6 cm，求该三角形的周长．
设该三角形的边长分别为2x，4x，5x
5x－2x＝6，即x＝2.
该三角形的周长为2x＋4x＋5x＝22cm.
探索新知
2
知识点
等积变形
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：
（1）形状变了，体积没变；
（2）原材料体积=成品体积.
探索新知
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4 m的圆柱形储水箱.现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4 m减少为3.2 m.那么在容积不变的前提下， 水箱的高
度将由原先的4 m变为多少米？
探索新知
在这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积=新水
箱的容积.设水箱的高变为x m，填写下表：
旧水箱 新水箱
底面半径/m
高/m
容积/m3
根据等量关系，列出方程：_____________.
解得x=________.
因此，水箱的高变成了_______m.
列方程时，关键是找出问题中的 等量关系.
探索新知
等积变形指图形或物体的形状发生变化，但变化前后的体积或面积不变．等积变形问题中的等量关系是：变化前图形或物体的体积(面积)＝变化后图形或物体的体积(面积)．
探索新知
例2 用一根长为10 m的铁丝围成一个长方形.
(1)使得该长方形的长比宽多1.4 m，此时长方形的长、宽各为多少米？
(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米 它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化？
(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
探索新知
分析：由题意可知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：10× 个问题的过程中，要抓住这个等量关系.
解：(1)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x ＋ 1.4)m.
根据题意，得x ＋ x ＋ 1.4 = 10 ×
解这个方程，得 x=1.8.
1.8 ＋ 1.4 = 3.2.
此时长方形的长为3.2 m,宽为1.8 m.
探索新知
(2)设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x ＋ 0.8) m.
根据题意，得x ＋ x ＋ 0.8 = 10×
解这个方程，得 x = 2.1.
2.1 ＋ 0.8 = 2.9.
此时长方形的长为2.9 m,宽为2.1m，面积为2.9 ×
2.1 = 6.09 (m2)，(1)中长方形的面积为3.2 ×1.8 =
5.76 (m2).此时长方形的面积比(1)中长方形的面积
增大 6.09 － 5.76 = 0.33 (m2).
探索新知
(3) 设正方形的边长为x m.
根据题意，得x ＋ x = 10 ×
解这个方程，得 x = 2.5.
正方形的边长为2.5 m,
正方形的面积为2.5 ×2.5 = 6.25 ( m2),
比(2)中面积增大6.25 － 6.09 = 0.16 (m2).
同样长的铁丝可以围更大的地方.
探索新知
例3 将装满水的底面直径为40 cm，高为60 cm的圆柱形水桶里的水全部灌于另一个底面直径为50 cm的圆柱形水桶里，这时水面的高度是多少厘米？
导引：本题中的等量关系为：底面直径为40 cm，高为60 cm的圆柱形水桶中水的体积＝底面直径为50 cm的圆柱形水桶中水的体积，故可设这时水面的高度为x cm，用含x的式子表示出水的体积即可．
探索新知
解：设这时水面的高度为x cm，
根据题意可得：
解得x＝38.4.
答：这时水面的高度为38.4 cm.
探索新知
总 结
此类题目要熟记体积公式，如V圆柱＝πR2h，
V长方体＝abh，V正方体＝a3.
探索新知
例4 在长为10 m，宽为8 m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．求小长方形花圃的长和宽．
解：设小长方形的长为x m，则宽为(10－2x)m.
由题意得 x＋2(10－2x)＝8，
　 x＋20－4x＝8，
－3x＝－12，
　　　 x＝4.
所以10－2x＝2.
答：小长方形花圃的长为4 m，宽为2 m.
探索新知
总 结
本题运用了数形结合思想，将图形中存在的等量关系，通过列一元一次方程反映出来，进而解决所求问题．注意挖掘图形中隐含的等量关系是解题的关键．
探索新知
例5 如图，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．(容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm)
探索新知
解：乙容器中的水不会溢出．
设甲容器中的水全部倒入乙容器后，乙容器中的水深x cm.
由题意，得π×102×20＝π×202×x.
解得x＝5.
因为5 cm＜10 cm，所以水不会溢出，倒入水后
乙容器中的水深5 cm.
典题精讲
欲将一个长、宽、高分别为150 mm、150 mm、20 mm的长方体钢毛坯，锻造成一个直径为100 mm的钢圆柱体，则圆柱体的高是(　　)
A．1 200 mm B. mm
C．120π mm D．120 mm
B
学以致用
小试牛刀
1.一个长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，那么长是（　　）
A. 9cm B. 5cm
C. 7cm D. 10cm
设长方形的长是xcm，则宽是（x-2）cm，根据题意列方程得2x+2（x-2）=16
解这个方程得：x=5
那么长是：5cm
故选B．
B
小试牛刀
2.用直径为8厘米的圆钢铸造6个直径为4厘米,高为8厘米的圆柱形零件,问需要截取多长圆钢
圆柱体积转换，r零件＝4÷2＝2，r钢＝8÷2＝4
V零件=πr h＝6×2 ×8π＝192π
V钢＝V零件
πr h＝192π
4 h＝192
h＝12
∴需要截取12㎝圆钢.
小试牛刀
3.一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将三个数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．
设十位上的数字为x，则个位上的数字为3x-2，百位上的数字为x+1，
故100（x+1）+10x+（3x-2）+100（3x-2）+10x+（x+1）=1171
解得：x=3
答：原三位数是437．
小试牛刀
4.把一些卡片排成一行,上面分别标有24，30，36，42，48...，小丽从中拿了相邻的3张,这3张卡片的数字之和为252.请列方程求这三个数.
设中间的一张为x.
（x-6）+x+（x+6）=252
x-6+x+x+6=252
3x=252
x=84
84-6=78 84+6=90
答：这三张分别是78、84和90.
小试牛刀
5.有一只驳船，载重量是800吨，容积是795立方米，现在装运生铁和棉花两种物资，生铁每吨的体积为0.3立方米，棉花每吨的体积为4立方米，生铁和棉花各装多少吨，才能充分利用船的载重量和容积？
设生铁运x吨，则棉花运（800-x）吨，
由题意得出：0.3t+4（800-x）=795，
解得：x=650，
800-650=150（吨），
答：生铁运650吨，棉花运150吨．
小试牛刀
6.如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
第5节套管的长度为：
50-4×（5-1）=34（cm）．
小试牛刀
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
第10节套管的长度为：50-4×（10-1）=14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，
根据题意得：（50+46+42+…+14）-9x=311，
即：320-9x=311，
解得：x=1．
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．
课堂小结
课堂小结
1.“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：
(1)形状变了，体积没变；
(2)原材料的体积＝成品的体积．
2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程．
同学们，
下节课见！
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