北师大版（新）七上-5.6 应用一元一次方程——追赶小明【优质课件】

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5.6 应用一元一次方程——追赶小明
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1. 列方程解应用题的一般步骤有哪些？
2.路程、速度、时间的关系有哪些？
复
习
回
顾
新课精讲
探索新知
1
知识点
一般行程问题
小明每天早上要在7: 50之前赶到距家1 000 m的学校上学.一天，小明以80 m/min的速度出发，
5 min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书.于是, 爸爸立即以180 m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他.
(1)爸爸追上小明用了多长时间？
(2)追上小明时，距离学校还有多远？
探索新知
分析：当爸爸追上小明时，两人所行路程相等.在解决这个问题时，要抓 住这个等量关系.
画出线段图，关系就很清楚了.
探索新知
解：(1)设爸爸追上小明用了 x min.
根据题意，得180x = 80x + 80×5.
化简，得 100x = 400.
x = 4.
因此，爸爸追上小明用了 4 min.
(2)180×4 = 720(m),
1000-720 = 280(m).
所以，追上小明时，距离学校还有280 m.
探索新知
1.行程问题的基本关系式：
路程＝速度×时间；
时间＝路程÷速度，速度＝路程÷时间．
2.行程问题中的等量关系：
(1)相遇问题中的等量关系：
①甲走的路程＋乙走的路程＝甲、乙出发点之间的路程；
②若甲、乙同时出发，甲用的时间＝乙用的时间．
(2)追及问题中的等量关系：
①快者走的路程－慢者走的路程＝追及路程；
②若同时出发，快者追上慢者时，快者用的时间＝慢者用的时间．
探索新知
例1 甲站和乙站相距1 500 km，一列慢车从甲站开出，速度为60 km/h，一列快车从乙站开出，速度为90 km/h.
(1)若两车相向而行，慢车先开30 min，快车开出几小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1 800 km？　
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)
探索新知
导引：(1)列表：
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
慢车 60 x＋ 60(x＋ )
快车 90 x 90x
等量关系：慢车行驶的路程＋快车行驶的路程＝1 500 km.
探索新知
(2)列表：


　　
等量关系：两车行驶的路程和＋1 500 km＝1 800 km.
(3)列表：


等量关系：慢车行驶的路程＋1 500 km－快车行驶的路程＝1 200 km.
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
慢车 60 y 60y
快车 90 y 90y
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
慢车 60 z 60z
快车 90 z 90z
探索新知
解：(1)设快车开出x h后两车相遇．
由题意，得60× ＋90x＝1 500，
解得x＝9.8.
答：快车开出9.8 h后两车相遇．
(2)设y h后两车相距1 800 km.
由题意，得60y＋90y＋1 500＝1 800，
解得y＝2.
答：2 h后两车相距1 800 km.
探索新知
(3)设z h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)．
由题意，得60z＋1 500－90z＝1 200，
解得z＝10.
答：10 h后两车相距1 200 km(此时快车在慢车的后面)．
探索新知
总 结
(1)行程问题中，分析时，可借助图示、列表来分析数量关系，图示可直观找出路程等量关系，列表可将路程、速度、时间的关系清晰地展示出来．
(2)本例是求时间，我们可设时间为未知数，从表中求路程；如果要求的是路程，那么我们可设路程为 未知数，从表中求时间，其依据是路程、速度和时间三者间的关系式.
探索新知
如(1)小题若将“几小时后两车相遇？”改为“相遇时快车走了多少千米？”如设间接未知数，则原解析及解不变，仅只将x求出后，再求出90x的值即可，如设直接未知数，则解析改为：列表：
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
慢车 60 1500-x
快车 90 x
探索新知
等量关系：慢车行驶时间－ h=快车行驶时间.
方程为：
(3)一般规律：在路程、速度、时间这三个量中，甲量已知，从乙量设元，则从丙量中找相等关系列方程；在所有行程问题中，一般都已知一个量，另两个量相互之间都存在相等关系.
探索新知
例2 小明和他的哥哥早晨起来沿长为400 m的环形跑道练习跑步．小明跑2圈用的时间和他的哥哥跑3圈用的时间相等．两人同时同地同向出发，结果经过2 min 40 s他们第一次相遇，若他们两人同时同地反向出发，则经过几秒他们第一次相遇？
探索新知
导引：列表：
　　
相等关系：小明跑的路程＝哥哥跑的路程－400 m.
速度/(m/s) 时间/s 路程/m
小明 x 160 160x
哥哥 x 160 160×
探索新知
解：设小明的速度为x m/s，
则他的哥哥的速度为 x m/s，
由题意得160x＝160× －400.
解得x＝5.
则小明的哥哥的速度为5× ＝7.5(m/s)．
设经过y s他们第一次相遇，
由题意，得(5＋7.5)y＝400.解得y＝32.
答：经过32 s他们第一次相遇．
探索新知
总 结
(1)本例在求小明及哥哥的速度时，也可设他们两人的速度分别为2x m/s和3x m/s.
(2)环形运动问题中的等量关系(同时同地出发)：①同向相遇：第一次相遇快者的路程－第一次相遇慢者的路程＝跑道一圈的长度；②反向相遇：第一次相遇快者的路程＋第一次相遇慢者的路程＝跑道一圈的长度．
典题精讲
汽车以72 km/h的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷，驾驶员摁一下喇叭，4 s后听到回声，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340 m/s，设听到回声时，汽车离山谷x m，根据题意，列出方程为(　　)
A．2x＋4×20＝4×340
B．2x－4×72＝4×340
C．2x＋4×72＝4×340
D．2x－4×20＝4×340
1
A
典题精讲
张昆早晨去学校共用时15 min，他跑了一段，走了一段，他跑步的平均速度是250 m/min，步行的平均速度是80 m/min，他家与学校的距离是2 900 m，若他跑步的时间为x min，则列出的方程是(　　)
A．250x＋80 ＝2 900
B．80x＋250(15－x)＝2 900
C．80x＋250 ＝2 900
D．250x＋80(15－x)＝2 900
2
D
探索新知
2
知识点
顺流(风)、逆流(风)问题
顺流（风）、逆流（风）问题：船在静水中的速度记为v静，水的速度记为v水，船在顺水中的速度记为v顺，船在逆水中的速度记为v逆，则 v顺=v静+v水，v逆=v静-v水.
探索新知
例3 一架飞机飞行在两个城市之间，风速为24 km/h，顺风飞行需要2 h 50 min，逆风飞行需要3 h，求飞机在无风时的平均速度及两城市之间的距离．
方法一：设速度为未知数．
导引：设飞机无风时的平均速度为x km/h，
2 h 50 min＝ h.
探索新知
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
顺风飞行 x＋24 (x＋24)
逆风飞行 x－24 3 3(x－24)
列表：
探索新知
解：2 h 50 min＝ h.
设飞机在无风时的平均速度为x km/h，
则顺风速度为(x＋24) km/h，
逆风速度为(x－24) km/h，
根据题意，得 (x＋24)＝3(x－24)．
解得x＝840.3(x－24)＝2 448 .
答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，两城市之间的距离是2 448 km.
探索新知
速度/(km/h) 时间/h 路程/km
顺风飞行 x
逆风飞行 x 3
方法二：设路程为未知数．
导引：设两城市之间的距离为x km. 列表：
相等关系：顺风行驶速度－风速＝逆风行驶速度＋风速．即：无风时速度相等．
探索新知
解：设两城市之间的距离为x km，
则顺风行驶的速度为 km/h，
逆风行驶的速度为 km/h，
根据题意，得：
解得x＝2 448. 所以
答：飞机在无风时的平均速度为840 km/h，两城市之间的距离为2 448 km.
探索新知
总 结
(1)行程问题：虽然不同的问题有不同的关系式，但列表格分析的方式是一致的，在路程、速度、时间这三个量中，已知量是一致的，设的未知量不同，所列方程也不同．
(2)解有关行程问题时，我们始终要记住一句话：在行程问题三个基本量(路程、速度、时间)中：①如果速度已知，若从时间设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从时间找等量关系列方程；②如果时间已知，若从速度设元，则从路程找等量关系列方程；若从路程设元，则从速度找等量关系列方程；③如果路程已知，若从时间(速度)设元，则从速度(时间)找等量关系列方程．
典题精讲
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶用4 h，从乙码头到甲码头逆流行驶用4 h 40 min，已知水流速度为3 km/h，则船在静水中的平均速度是多少？
1
解：设船在静水中的平均速度是x千米/小时，
根据题意，得
4(x＋3)＝
解得x＝39.
答：船在静水中的平均速度是39千米/小时．
典题精讲
2
一架战斗机的贮油量最多够它在空中飞行4.6 h，飞机出航时顺风飞行，在无风时的速度是575 km/h，风速为25 km/h，这架飞机最远能飞出多少千米就应返回？
设飞机顺风飞行的时间为t h.
依题意，有(575＋25)t＝(575－25)(4.6－t)．
解得t＝2.2. 则(575＋25)t＝600×2.2＝1 320.
答：这架飞机最远能飞出1 320 km就应返回．
解：
探索新知
3
知识点
上坡、下坡问题
例4 家住山脚下的孔明同学想从家出发登山游玩，据以往的经验，他获得如下信息：
①他下山时的速度比上山时的速度每小时快1 km；
②他上山2 h到达的位置，离山顶还有1 km；
③抄近路下山，下山路程比上山路程近2 km；
④下山用1 h.
探索新知
根据上面信息，他做出如下计划：
(1)在山顶游览1 h；
(2)中午12：00回到家吃中餐．
若依据以上信息和计划登山游玩，
请问：孔明同学应该在什么时间从家出发？
解：设上山的速度为v km/h，
则下山的速度为(v＋1) km/h，
由题意得2v＋1＝v＋1＋2，解得v＝2.
即上山速度是2 km/h.
探索新知
则下山的速度是3 km/h，山高为5 km.
则计划上山的时间为5÷2＝2.5(h)，
计划下山的时间为1 h，
则共用时间为2.5＋1＋1＝4.5(h)，
所以出发时间为7：30.
答：孔明同学应该在7点30分从家出发．
学以致用
小试牛刀
1．在一段双轨铁道上，两辆火车迎头驶过，A列车的速度为20 m/s，B列车的速度为24 m/s.若A列车全长180 m，B列车全长172 m，两列车错车的时间为________．
2．甲、乙两地相距80 km，一船往返两地，顺流时用4 h，逆流时用5 h，那么这只船在静水中的速度为____________．
3．甲列车从A地开往B地，速度是60 km/h，乙列车从B地开往A地，速度是40 km/h，两车同时出发．已知A，B两地相距200 km，_________小时后两车相遇．
8s
18km/h
2
小试牛刀
4．甲、乙两人经常练习赛跑，甲每秒跑7 m，乙每秒跑6.5 m，甲让乙先跑5 m，设x s后，甲可以追上乙，则下列四个方程不正确的是(　　)
A．7x＝6.5x＋5
B．7x－5＝6.5
C．(7－6.5)x＝5
D．6.5x＝7x－5
B
小试牛刀
5．一架在无风情况下航速为1 200 km/h的飞机，逆风飞行一条x km的航线用了3 h，顺风飞行这条航线用了2 h．依题意列方程：
.这个方程表示的意义是(　　)
A．顺风与逆风时，风速不变
B．顺风与逆风时，飞机自身的航速不变
C．顺风和逆风时，所飞的航线长不变
D．飞行往返一次的总时间不变
A
小试牛刀
6．A，B两站相距284 km，甲车从A站以48 km/h的速度开往B站．过1 h后，乙车从B站以70 km/h的速度开往A站．设乙车开出x h后两车相遇，则可列方程为(　　)
A．70x＋48x＝284
B．70x＋48(x－1)＝284
C．70x＋48(x＋1)＝284
D．70(x＋1)＋48x＝284
C
小试牛刀
7．甲、乙两人在一条长400 m的环形跑道上跑步，甲的速度是360 m/min，乙的速度是240 m/min.
(1)两人同时同地同向跑，问：第一次相遇时，两人一共跑了几圈？
解：(1)设x分后两人第一次相遇，
由题意，得360x－240x＝400.
解得
答：两人一共跑了5圈．
小试牛刀
7．甲、乙两人在一条长400 m的环形跑道上跑步，甲的速度是360 m/min，乙的速度是240 m/min.
(2)两人同时同地反向跑，问：几秒后两人第一次相遇？
(2)设x分钟后两人第一次相遇．
由题意，得360x＋240x＝400，
解得x＝ ， min＝40 s.
答：40 s后两人第一次相遇．
小试牛刀
8．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(1)慢车先开出1小时，快车再开．两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？
解：(1)设快车开出x h后两车相遇，
90×(x＋1)＋140x＝480
　90x＋90＋140x＝480
　　　　 230x＝480－90
　　　　　　　x＝390÷230
　　　　　　　x＝
答：快车开出 h后两车相遇．
小试牛刀
8．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600千米？
(2)设相背而行x h后两车相距600 km，
(90＋140)x＋480＝600
　　　　　　　　　 230x＝600－480
　　　　　　　 　　x＝120÷230
　　　　　　　　　　　 x＝
答：相背而行 h后两车相距600 km.
小试牛刀
8．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？
(3)根据题意可知间隔的距离600 km是两车同时开出时后行驶的路程加上甲、乙两地相距的480 km，设x h后快车与慢车相距600 km，
(140－90)x＋480＝600
　　　　　　　　 50x＝600－480
　　　　　　　　 　x＝120÷50
　　　　　　　 　　x＝2.4
答：2.4 h后快车与慢车相距600 km.
小试牛刀
8．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
(4)设x h后快车追上慢车．
根据题意可知：快车行的路程是慢车行的路程加上甲、乙两地相距的480 km，
90x＋480＝140x
　　　　　140x－90x＝480
　　　　　　 50x＝480
　　　　　　　　 x＝480÷50
　　　　　　　　　x＝9.6
答：9.6 h后快车追上慢车．
小试牛刀
8．甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米．
(5)慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
(5)设x h后快车追上慢车．
根据题意快车行驶的路程是慢车先行驶1 h的路程＋慢车与快车同时行驶的路程＋甲、乙两地相距的480 km.
90×(x＋1)＋480＝140x
　　90x＋90＋480＝140x
　　 　140x－90x＝570
　　　　　　 　x＝570÷50
　　　　 　　　x＝11.4
答：11.4 h后快车追上慢车．
课堂小结
课堂小结
行程问题有相遇问题，追及问题，顺流、逆流问题，上坡、下坡问题等．在运动形式上分直线运动及曲线运动(如环形跑道)．相遇问题是相向而行，相遇时的总路程为两运动物体的路程和．追及问题是同向而行，分慢的在快的前面或慢的先行若干时间，快的再追．顺流、逆流、顺风、逆风、上下坡问题应注意运动方向．
同学们，
下节课见！
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