北师大版（新）八上-2.7 二次根式 第一课时【优质课件】

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2.7 二次根式
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
观察下列代数式：
可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.
新课精讲
探索新知
1
知识点
二次根式的定义
形如 (a≥0)的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
特点：①都是形如 的式子，
②a都是非负数.
探索新知
例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由．
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行识别．
解：(1)不是．理由：因为 的根指数是3，所以 不是二次根式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．
探索新知
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 是二次根式；当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根式．所以 不一定是二次根式．
(4)不是．理由： (a≥0)只能称为含有二次根式的代数式，不能称为二次根式．
探索新知
(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时， 是二次根式；
当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以 不是二次根式．所以
不一定是二次根式．
(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
的根指数为2，所以 是二次根式．
(7)是．理由：因为|x|≥0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．
探索新知
总 结
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：
(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；
(2)被开方数(式)为非负数．
探索新知
例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？
导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．
解：(1)欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0，所
以x≥3且 x≠5.
(2)欲使 有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以2≤x≤5.
探索新知
总 结
求式子有意义时字母的取值范围的方法：
第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数；对于零指数，则必须满足底数不能为零．
第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．
典题精讲
1
下列式子一定是二次根式的是( )
若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)
A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2
2
C
C
探索新知
2
知识点
二次根式的性质
做一做
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？
（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借
助计算器验证，并与同伴进行交流.
探索新知
二次根式的性质：
积的算术平方根，等于________________;
商的算术平方根，等于________________;
算术平方根的积
算术平方根的商
探索新知
知识点
解：
探索新知
知识点
例4 〈易错题〉化简：
导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式)必须是非负数．(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数是含有字母的单项式，都可利用 进行化简．
探索新知
知识点
解：
探索新知
商的算术平方根再探索
(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法法则；
(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负数，除式是正数；
(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分母中的根号化去．
分母有理化
(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；
(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；
(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．
典题精讲
1
当1＜a＜2时，代数式 的值是(　　)
A．－1 B．1
C．2a－3 D．3－2a
B
下列结果正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2
C
探索新知
3
知识点
最简二次根式
1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式必须满足：
(1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数 (式)；
(2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1.
探索新知
2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤：
(1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式；
(2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意应写在分母的位置上；
(3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母．
注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式；
(2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外；
(3)去根号后漏掉括号．
探索新知
知识点
例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由．
解： (1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．
(2)是最简二次根式．
(3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)．
(4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的因数4，4＝22.
(5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式．
(6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．
探索新知
总 结
判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：
(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；
(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具备分母中不含二次根式的条件．
探索新知
知识点
例6 化简：
解：
若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
导引：
探索新知
总 结
被开方数是数的二次根式的化简技巧：
(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；
(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化成分数或带分数化成假分数的形式；
(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这个和差的结果求出．
典题精讲
1
下列式子为最简二次根式的是(　　)
在下列根式中，不是最简二次根式的是(　　)
2
A
D
学以致用
小试牛刀
1．一般地，形如 (a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数，“ 　”称为二次根号．理解要点如下：
(1) 二次根式从形式上界定，必须含有________；
(2) 二次根式从内容上看，a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子，但必须注意________是a为二次根式的前提．
a≥0
2． ＝__________(a≥0，b≥0)； ＝__________(a≥0，b＞0)．
小试牛刀
3．最简二次根式应有如下两个特点：
(1)被开方数不含________；
(2)被开方数中不含能_________的因数或_________．
4．下列二次根式中，最简二次根式是(　　)
A．－ B. C. D.
分母
开得尽方
因式
A
小试牛刀
5．已知 ＝ ，则a的取值范围是(　　)
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D．a＞0
6．设 ＝a， ＝b，用含有a，b的式子表示0.54，则下列表示正确的是(　　)
A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b
C
A
小试牛刀
7．下列各式中不是二次根式的是(　　)
B. C. D.
8．下列式子：
① ；② ；③ ；④ ，
其中二次根式的个数有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
B
小试牛刀
9．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋ 的结果是(　　)
A．－2a＋b B．2a－b
C．－b D．b
A
小试牛刀
10．当x取什么实数时，式子 ＋2的值最小？并求出这个最小值．
解：因为 ≥0，
所以当 ＝0，即x＝ 时，式子 ＋2的值最小，最小值为2.
小试牛刀
11．已知y＝ ＋ ＋ ，求 ＋ 的值．
解：由被开方数的非负性，得2x－1≥0，且1－2x≥0，
所以x≥ ，且x≤ .所以x＝ .
将x＝ 代入已知条件，得y＝ .
所以 ＋ ＝2＋3＝5.
小试牛刀
10．设△ABC的三边长分别为a，b，c，试化简：
【思路点拨】
因为a，b，c为△ABC的三边长，
所以a＋b＋c＞0，b＋c－a＞0，a＋c－b＞0，
a＋b－c＞0.
所以原式＝a＋b＋c＋b＋c－a＋a＋c－b－a－b＋c＝4c.
课堂小结
课堂小结
当a≥0时，
当a≥0时，
3.
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）